To
„
lov matrisasi. Sof strategiyalar
To`lov matrisasi.
Juft chekli o`yinni ko`rib chiqamiz.
A
o`yinchi,
m
ta
1
2
,
,...,
m
A A
A
strategiyaga ega bo`lsin.
B
o`yinchining esa,
n
ta,
1
2
,
,...,
n
B B
B
strategiyasi bo`lsin (5.1 - jadval).
O`yinchilar ixtiyoriy
i
A
va
j
B
1, ;
1,
i
m j
n
juft strategiyalarni tanlashidan, bir qiymatli o`yin natijasi hosil bo`ladi. Bu degani,
A
o`yinchining
ij
a
yutug`i (manfiy yoki musbat) va
B
o`yinchining
ij
a
yutqazishi sodir bo`ladi. Ixtiyoriy
,
i
j
A B
juftlik uchun
,
o`yin narxi
deyiladi.
i
A
va
j
B
o`yin juftligiga mos elementlari
ij
a
yutuqlardan iborat bo`lgan
matrisa
1, ;
1,
ij
A
a
i
m j
n
to`lov matrisasi
deyiladi. Bu matrisaning umumiy ko`rinishi
5.1 - jadvalda keltirilgan.
A
o`yinchi,
m
ta,
1
2
,
,...,
m
A A
A
strategiyadan,
B
o`yinchi
esa,
n
ta,
1
2
,
,...,
n
B B
B
strategiyaga ega.
53
5.1.1- jadval
O`yinchilar
1
B
2
B
…
n
B
1
A
11
a
12
a
…
1
n
a
2
A
21
a
22
a
…
2
n
a
…
…
…
…
…
m
A
1
m
a
2
m
a
…
mn
a
Jadvalning satrlari
A
o`yinchining strategiyalariga, ustunlari esa
B
o`yinchining
strategiyalariga mos keladi. Quyidagi o`yin uchun to`lov matrisasini tuzamiz.
Misol.
A
yoki
B
o`yinchilarning har biri, bir biriga bog`liq bo`lmagan holda
1,2, 3 raqamlarini yozadi. Agar raqamlarning ayirmasi musbat bo`lsa, u holda
A
o`yinchi ayirmaga teng bo`lgan yutuqqa erishadi. Agar ayirma noldan kichik
bo`lsa, u holda
B
o`yinchi yutadi. Agar ayirma nolga teng bo`lsa, durang bo`ladi.
A
o`yinchining uchta strategiyasi mavjud:
A
1
= 1,
A
2
= 2,
A
3
= 3,
B
o`yinchining ham uchta strategiyasi bor:
B
1
= 1,
B
2
= 2,
B
3
= 3.
A
o`yinchining maqsadi-o`zining yutug`ini maksimallashtirishdan,
B
o`yinchining maqsadi esa-o`zining yutqazishini minimallashtirishdan iborat. Bu
nol summali juft o`yin hisoblanadi.
O`yinchi lar
B
1
= 1
B
2
= 2
B
3
= 3
A
1
= 1
0
-1
-2
A
2
= 2
1
0
-1
A
3
= 3
2
1
0
Masalan,
13
2
a
–
A
o`yinchining yutug`i,
13
2
a
–
B
o`yinchining yutug`i.
Bu matrisali o`yin bo`lib, uning to`lov matrisasi ushbu ko`rinishdan iborat.
0
1
2
1
0
1
2
1
0
.
Misol
.
Ikki o`yinchi bir biridan farqli 1-5 diapazonda bittadan son aytishadi.
Agar sonlar yig`indisi toq bo`lsa, u holda 2 o`yinchi birinchiga aytilgan sonlarning
maksimumini to`laydi, aksincha esa 1 o`yinchi to`laydi.
Yechish.
Musbat sonlar, 1-o`yinchining yutuqlari, manfiylari esa 2-
o`yinchining yutuqlari. Bu o`yinning to`lov matrisasi ushbu ko`rinishda bo`ladi.
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
2
3
4
5
3
3
3
3
4
5
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
54
O`yinning
yuqori
va
quyi
chegaralari.
O`lchovi
m n
,
bo`lgan,
1, ;
1,
ij
A
a
i
m j
n
matrisali o`yindan,
1
2
,
,...,
m
A A
A
strategiyalardan eng
yaxshisini aniqlaymiz.
A
o`yinchi
i
A
strategiyalardan birini tanlashi bilan,
B
o`yinchi ham,
A
o`yinchining yutuqlari minimal (
B
o`yinchi,
A
o`yinchiga zarar
keltirishga intiladi) bo`ladigan,
j
B
strategiyalardan birini qo`llaydi.
i
bilan,
A
o`yinchining
i
A
strategiyalari orasidan, eng kichik yutug`ini (to`lov matrisasi
i
-
satridagi eng kichik son),
B
o`yinchining mumkin bo`lgan barcha strategiyalarini
hisobga olgan holda, belgilaymiz, ya`ni
min
i
ij
j
a
(5.1)
1,
i
i
m
sonlar orasidan eng kattasini tanlaymiz.
ni o`yinning
quyi narxi
,
yoki
maksimal yutuq
(
maksimin
) deb ataymiz. Bu,
B
o`yinchining har qanday
strategiyasida,
A
o`yinchi uchun
kafolatlangan yutuq
bo`ladi. Demak,
max min
ij
j
i
(5.2)
Agar strategiya, maksiminga mos kelsa, bu
maksimin strategiya
deyiladi.
B
o`yinchining maqsadi,
A
o`yinchining yutuqlarini kamaytirish bo`lib, buning
uchun
j
B
strategiyalardan birini tanlayotganda,
A
ning mumkin bo`lgan barcha
maksimal yutuqlarini hisobga oladi. Belgilash kiritamiz
min
j
ij
i
a
(5.3)
j
sonlar orasidan eng kichigini
bilan belgilab, uni o`yinning
yuqori
chegarasi
yoki
minimaks yutuq
(
minimaks
) deb ataymiz. Bu,
B
o`yinchi uchun
kafolatlangan yutqazish
bo`ladi. Demak,
min max
ij
j
i
a
(5.4)
Agar strategiya, minimaksga mos kelsa, bu
minimaks strategiya
deyiladi.
Agar o`yinchilarga ehtiyot chora sifatida minimaks va maksimin strategiyalardan
birini tanlash zarur bo`lsa, bu
minimaks prinsipi
deyiladi.
O`yin narxi, quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
.
Iqtisodiy
masalalarni
yechishda,
o`yinlar
nazariyasini
qo`llash
.
Iste`molchilar bozorining mavsum bo`yicha o`zgarib turishi, kompaniyalar
strategiyalarini doimo, qayta ishlab chiqishlariga sabab bo`ladi. Bozordagi
aniqmasliklardan optimal strategiyalarni aniqlash yetarlicha murakkab bo`lsada,
matematik usullarni qo`llab va ma`lum bir yo`nalishlarni hisobga olib, maksimal
foyda olish mumkin.
Aniqmaslik sharoitida, bozor strategiyasini to`g`ri qo`llash asosida, tasodifiy
faktorlarni kamaytirib, katta ehtimollik bilan foyda olishni prognoz qilish mumkin.
Iste`molchilar talabi va ko`pgina tovarlarni sotish hajmi mavsumga
bog`liqdir. Qayd etilganki, bir qancha tovarlarga talabning o`sishi yozga,
ba`zilarida bahor-kuz davrlariga, ba`zilarida esa qish mavsumiga mos keladi.
Shundan kelib chiqib, kompaniyalar, o`tish davrlari uchun optimal strategiyalar
ishlab chiqishlari zarur.
55
Sof strategiyalar.
Agar o`yinning quyi va yuqori narxlari mos kelsa, bu
narxlarning umumiy qiymati
v
o`yinning sof strategiyasi
, yoki
o`yin narxi
deyiladi. O`yin narxiga mos keluvchi minimaks strategiyalar,
optimal
strategiyalar
, yoki
optimal yechim
, yoki
o`yinning yechimi
deb ataladi. Bunday
holda,
A
o`yinchi maksimal kafolatlangan yutuq (
B
o`yinchi harakatiga bog`liq
bo`lmagan holda)
v
ga,
B
o`yinchi minimal kafolatlangan yutqazishga (
A
o`yinchi harakatiga bog`liq bo`lmagan holda)
v
ga ega bo`ladi. Optimal yechim
esa turg`unlik xarakteriga ega.
i
A
va
j
B
juftlik sof strategiyalarning optimal yechimi bo`lishi uchun, ularga
mos
ij
a
elementning bir vaqtda satr elementlari orasida eng kichik, ustun
elementlari orasida eng katta bo`lishi zarur va yetarli. Agar bu vaziyat mavjud
bo`lsa, u
egar nuqta
(sirti egarga o`xshashligidan, ya`ni bir tomondan yuqoriga,
boshqa tomondan quyiga qarab qiyshayishiga asoslanadi) deyiladi.
Demak,
,
i
j
A B
optimal juft strategiyalar, egar nuqta bo`lar ekan.
Misol.
Berilgan to`lov matrisasidan foydalanib, egar nuqtani va
qatnashchilarning sof strategiyalarini aniqlang.
O`yinchi lar
1
B
2
B
3
B
4
B
1
A
8
7
0
6
2
A
6
8
5
10
|
