Ratsional kasrlar.Ushbu mavzuda haqiqiy yoki kompleks sonlar maydoni ustida berilgan ratsional kasrlar haqida gap boradi. Biror maydon ustida berilgan f (x) va
g(x), g(x) ≠ 0 ko‘phadlarning 𝑓(𝑥) nisbatiga ratsional kasrli funksiya yoki qisqacha
𝑔(𝑥)
ratsional kasr deyiladi.
Ta’rif. Agar 𝑓1(𝑥)
va 𝑓2(𝑥)
ratsional kasrlar uchun 𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔 (𝑥)=𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔
(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
1 2 2 1
tenglik o‘rinli bo‘lsa, bu ratsional kasrlar teng deyiladi. Masalan, 1 va
𝑥−1
𝑥+1
𝑥2−1
ratsional kasrlar tengdir.
Ratsional kasrlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
1. 𝑓1(𝑥)
𝑔1(𝑥)
+ 𝑓2(𝑥)
𝑔2(𝑥)
= 𝑓1(𝑥)∙𝑔2(𝑥)+𝑓2(𝑥)∙𝑔1(𝑥);
𝑔1(𝑥)∙𝑔2(𝑥)
1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) = 𝑥 − 1 + 𝑥2 + 1 .
Bu tenglikni ikkala tomonini (𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) ko’phadga ko’paytirsak,1=A(𝑥2 +
1) +( 𝐵𝑥 + 𝐶)( 𝑥 − 1) tenglik hosil bo’ladi.Bu yerdan A=1,B=− 1 va
2 2
C=− 1 ekanligini topishimiz mumkin.
2
Ratsional va irratsional tenglama va tengsizliklar haqida umumiy tushuncha.
Dastavval tenglama tushunchasi bilan yaqindan tanishadigan bo’lsak,f(x)=g(x) ko’rinishidagi tenglik bir noma’lumli tenglama deyiladi,(bu yerda f(x) va g(x) lar x noma’lumli funksiyalardir).Agar tenglamada x ning o’rniga shunday x=a qiymat qo’yilganda f(a)=g(a) tenglik hosil bo’lsa,x=a qiymat f(x)=g(x) tenglamaning ildizi deyiladi.
Tenglamani yechish deganda –uning barcha ildizlarini topish yoki uning ildizi mavjud emasligini isbotlash tushuniladi.Agar tenglamaning ildizlari 𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑛
sonlar bo’lsa,ular {𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑛} to’plam ko’rinishida ,yoki
𝑥1=𝑎1, 𝑥2=𝑎2, … , 𝑥𝑛=𝑎𝑛 kabi yoziladi.Tenglamaning barcha ildizlari to’plami tenglamaning yechimi deyiladi.Tenglamaning ildizi mavjud bo’lmagan holda “Tenglamaning ildizi yo’q’’ yoki “Tenglamaning yechimi- bo’sh to’plam’’ iborasi ishlatiladi.
misol.(x+3)(2x-1)(x-2)=0 tenglamani yeching.
Bu tenglamaning o‘ng tarafi nolga teng, chap tarafi esa 3 ta ifodaning ko‘paytmasidan iborat.Ko‘paytuvchilaridan hech bo‘lmaganda bittasi nolga teng bo‘lgandagina ko‘paytma nolga teng bo‘lganligi uchun, har bir ko‘paytuvchi ifodani nolga tenglashtirib olamiz:x+3=0, 2x-1=0, x-2=0 .Hosil bo‘lgan ushbu tenglamalardan tenglamaning ildizlari
1misol. Ildizlari 0, -1 va 2 ga teng bo‘lgan tenglama tuzing.
Turli ko‘rinishdagi tenglamalar javob tariqasida berilishi mumkin. Eng soda tenglama x(x+1)(x-√2)=0 ko‘rinishida bo‘lishini eslatib o‘tamiz.
Bu sonlar yana quyidagi tenglamaning ham ildizi boʻla oladi:
(𝑥2 + 𝑥3)(𝑥 − √2)(𝑥2 + 3) = 0
Ta‘rif: Agar f(x)=g(x) tenglamaning barcha ildizlari 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥)tenglamaning ildizlari bo‘lsa, va aksincha, 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) tenglamaning barcha ildizlari f(x)=g(x) tenglamaning ildizlari bo‘lsa, ya‘ni ularning yechimlari ustma-ust tushsa, bunday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.
misol. 3x-6=0 va 2x-1=3 tenglamalarni teng kuchliligini tekshiring.
3x-6=0 va 2x-1=3 tenglamalar teng kuchli, chunki har birining ildizi x = 2 ga teng. Yechimi bo‘sh to‘plam bo‘lgan har qanday ikkita tenglama ham teng kuchli bo‘ladi Teng kuchli tenglamalar quyidagicha belgilanadi: 3x-6=0↔2x-1=3 Tenglama quyidagi holatlarda o‘ziga teng kuchli bo‘lgan teglamaga o‘tadi:
Tenglamaning biror-bir hadi tenglikning bir qismidan ikkinchi qismiga qarama- qarshi ishora bilan o‘tkazilganda.
Masalan, f(x)=g(x)+t(x) ↔f(x)-g(x)=t(x)
Tenglamaning ikkala tarafini noldan farqli songa ko‘paytirilganda yoki bo‘lganda.
Teng kuchli tenglamalar haqidagi tasdiqlar.
f (x) = g(x) va f (x) - g(x) = 0 tenglamalar teng kuchli.
f (x)=g(x) va f (x)+a= g(x)+a tenglamalar ixtiyoriy a haqiqiy son uchun teng kuchli.
f (x)=g(x) va a f (x)=a g(x) tenglamalar ixtiyoriy noldan farqli a haqiqiy son uchun teng kuchli.
Aytaylik 𝜑(𝑥) funksiya f (x)=g(x) tenglamaning aniqlanish sohasida aniqlangan bo’lsin. U holda f (x)=g(x) va f (x)+ 𝜑(𝑥) = g(x)+ 𝜑(𝑥) tenglamalar teng kuchli.
Aytaylik y=f(x) va y=g(x) funksiyalar A to’plamda nomanfiy bo’lsin. U holda A to’plamda f (x)=g(x) va fn (x)=gn(x) tenglamalar teng kuchli.
Aytaylik 𝜑(𝑥) funksiya f (x)=g(x) tenglamaning aniqlanish sohasida aniqlangan va hech bir nuqtada nol qiymat qabul qilmasin. U holda f (x)=g(x) va f (x)∙ 𝜑(𝑥) = g(x)∙ 𝜑(𝑥) tenglamalar teng kuchli.
|
