Butun ratsional tenglamalar. Ta’rif.Agar f (x) va g(x) funksiyalar butun ratsional ifodalar bilan berilgan bo‘lsa,
f (x)=g(x) tenglama, butun ratsional tenglama deyiladi.
Bunday tenglamaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi.
Ta‘rif:Quyidagi ko‘rinishidagi tenglama 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 + ⋯ +
𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛=0, 𝑎0 ≠ 0 standart ko‘rinishdagi n-darajali butun ratsional tenglama
deb ataladi.
Agar 𝑎0 = 1 bo‘lsa, 𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛=0 tenglama keltirilgan n- darajali butun
ratsional tenglama deb ataladi. 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1– koeffitsiyentlar, 𝑎𝑛– ozod had deb ataladi.
Ma‘lumki, n- darajali ko‘phad n tadan ko‘p bo‘lmagan ildizlarga ega bo‘lishi mumkin, demak, har bir standart ko‘rinishidagi n- darajali butun ratsional tenglama ham n tadan ko‘p bo‘lmagan ildizlarga ega bo‘ladi.
Teorema: Butun koeffitsiyentli keltirilgan butun ratsional tenglamaning ildizlari butun son bo‘lsa, ular ozod hadining bo‘luvchilari bo‘ladi.
Teorema: Agar 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛=0, 𝑎0 ≠ 0 n-
darajali butun koeffitsiyentli ratsional tenglama 𝑥 0
= 𝑝 ratsional ildizga ega bo‘lsa,
𝑞
unda p − ozod had (𝑎 𝑛) ning bo‘luvchisi, q − esa bosh had 𝑎 0 ning bo‘luvchisi bo‘ladi.
misol:6x3 − 11x2 −2x+8=0 tenglamani yeching.
Yechish. Ozod hadining bo‘luvchilarini: ±1,±2,±4,±8 va bosh hadining natural
bo‘luvchilarini yozib olamiz: 1, 2, 3, 6. Tanlash yo‘li bilan 𝑥 1
= 4 tenglamaning
3
ildizi bo‘lishini aniqlaymiz.
Tenglamaning chap tarafidagi ko‘phadni x − 4 ikkihadga bo‘lib, quyidagi
3
ko‘paytuvchilarga ajralgan teng kuchli tenglamaga keltiramiz:
(x − 4)( 6x2 −3x-6)=0
3
Ikkinchi qavsdagi kvadrat tenglamani yechib,
𝑥 2
= 1−√17 , 𝑥
3
4
= 1+√17
4
larni topamiz.
Javob:
4
𝑥1 = 3 , 𝑥2 =
3
1−√17 , 𝑥 =
4
1+√17
4
Simmetrik tenglamalar va ularga keltiriladigan tenglamalar.Ushbu, a𝑥 𝑛 +
𝑏𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏𝑥 + 𝑎=0 ko‘rinishdagi butun ratsional tenglama simmetrik tenglama deyiladi.
Bunda tenglamaning boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda yotgan hadlarning koeffitsiyentlari bir-biriga teng bo‘ladi. Simmetrik tenglamaning ildizlaridan hech biri nolga teng emasligini ko‘rish oson.
Agar x = 0 tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda biz a = 0 ga ega bo‘lamiz va tenglamaning darajasi pastroq bo‘ladi.
1. Oldin juft ( n = 2 k ) darajali simmetrik tenglamani ko‘rib chiqamiz. Tenglamaning har ikkala qismini 𝑥 𝑘 ga bo‘lib, hadlarni guruhlash natijasida uni quyidagi
ko‘rinishga keltiramiz:
a(𝑥𝑘 + 1 )+ b(𝑥𝑘−1 + 1
)+…+ b
1 +a=0
𝑥𝑘
𝑥𝑘−1
(𝑥 + )
𝑥
Agar bu tenglamada x+ 1=t belgilash kiritsak, ketma-ket quyidagilarni topamiz:
𝑥
𝑥2 + 1
𝑥2
= 𝑡2 − 2, 𝑥3 + 1
𝑥3
= 𝑡3 − 3𝑡; …
Bu ifodalarni yuqoridagi tenglamaga qo‘yib, t ga nisbatan k darajali tenglamani hosil qilamiz. 𝑥 ning qiymatlarini esa 𝑥2 − 𝑡𝑥 + 1 = 0 tenglamadan topamiz.
5-misol. 𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama 4-darajali qaytma (simmetrik) tenglama. Uni yechish uchun
tenglamaning ikkala tomonini 𝑥2 ≠ 0 ga bo‘lamiz va unga teng kuchli tenglamani hosil qilamiz:
2 5 1
𝑥 − 5𝑥 + 8 − 𝑥 + 𝑥2 = 0,
Qo‘shiluvchilarni guruhlab, tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltirib olamiz:
1 2 1
𝑥 2 + 1
𝑥2
2
1
− 5 (𝑥 + 𝑥) + 8 = 0
2
qilamiz. Bu tenglamani yechimlari 𝑡1 = 2 va 𝑡2 = 3 . Bu qiymatlarni belgilashga
qayta qo‘yib, berilgan tenglamaning yechimi 𝑥 + 1=2 va
𝑥
𝑥 + 1 = 3
𝑥
tenglamalarning yechimi birlashmasiga teng bo‘lishini ko‘ramiz. Bu tenglamalarni yechib,
𝑥1
= 1, 𝑥2
3
= 3−√5 , 𝑥
2
= 3+√5
2
ekanligini topamiz.
Javob: 𝑥 1
= 1, 𝑥 2
= 3−√5 , 𝑥
3
2
= 3+√5.
2
BOB. MAKTABDA RATSIONAL VA IRRATSIONAL TENGLAMA VA TENGSIZLIKLAR MAVZUSINI YONDASHUV ASOSIDA O’QITISH METODIKASI “Ratsional va irratsional tenglama va tengsizliklar’’ mavzusini tahlili
Quyida 10-sinf “Algebra” o‘quv fanida “Ratsional tenglama va tengsizliklar.Irratsional tenglamalar” bobini o‘quv i va uni o‘zlashtirish uchun zarur bo‘lgan o‘quvchining leksikonini tavsiflaymiz. Bunda amaldagi darslikdagi “Ratsional tenglama va tengsizliklar.Irratsional tenglamalar.” bobining matnidan foydalanamiz.
Umumiy o’rta ta’lim maktablarining 10-sinf algebra kursining “Ratsional tenglama va tengsizliklar.Irratsional tenglamalar” bobida o’quvchilar bilishi kerak bo’lgan tushunchalarning li tahlili:
1.Ratsional tenglamalar mavzusi; 2.Ratsional tengsizliklar ;
3.Irratsional tenglamalar; mavzulari uchun alohida tahlil qilib chiqamiz.
Biz o’quvchilar uchun tanish bo’lgan tushunchalarni(+) va ular uchun yangi tushunchalarni (-) belgilari orqali ajratamiz.
Ratsional tenglamalar mavzusida o’quvchilar quyidagi tushunchalarni bilishi talab qilinadi:
Tenglik(+),bir noma’lumli tenglama(+),funksiyalar(+),tenglamaning ildizi(+),tenglamani yechish,to’plam(-),tenglamaning yechimi(+),tenglamaning ildizi yo’q(+),tenglamaning yechimi-bo’sh to’plam, x€ǿ belgisi(-),tenglamaning o’ng va chap tarafi(+),ko’paytuvchilar(+),birhad va ko’phad(+),ifoda(+),ko’paytmaning nolga teng bo’ish sharti(-),yechimlarning ustma-ust tushishi(-),teng kuchli tenglamalar(-),qarama-qarshi ishora(+),butun- ratsional tenglama(-),kasr-ratsional tenglama(-),aniqlanish sohasi(-),haqiqiy sonlar to’plami(-),standart ko’rinishidagi n-darajali butun ratsional tenglama(-
),koeffitsiyent(+),ozod had(+),n-darajali ko’phad(+),bosh had(-),simmetrik tenglama(-),juft(n=2k) darajali simmetrik tenglama(-),hadlarni guruhlash(+),toq darajali(2k+1) simmetrik tenglama(-),tenglamaning nollari(-),umumiy maxrajga keltirish(+),teng kuchli sistema(-),chet ildiz(-),Viyet teoremasi(+),harakatga doir masala(+),ishga doir masala(+).
Ratsional tengsizliklar mavzusida o’quvchilar quyidagi tushunchalarni bilishi talab qilinadi:
Bir o’zgaruvchili tengsizliklar(-),tengsizlikni yechish(-),qiymatlat to’plami(-
),to’g’ri tengsizlik(+),tengsizlikning yechimi(-),sodda teng kuchli tengsizlik(+),had(+),qarama-qarshi ishora(+),musbat songa ko’paytirish va bo’lish(+),tengsizlik belgisi(+),intervallar usuli(-),tengsizlikning o’ng tarafi(+),tengsizlikning chap tarafi(+),sonlar o’qi(+),interval ishorasi(+),musbat ishora(+),manfiy ishora(+),tengsizlikning nollari(+),juft daraja(+),kasr-ratsional tengsizliklar(-),suratining nollari(+),maxrajining nollari(+),aniqlanish sohasi(+),tengsizlik belgisiga mos keluvchi oraliqlar(+),umumiy maxraj(+). Irratsional tenglamalar mavzusida o’quvchilar quyidagi tushunchalarni bilishi talab qilinadi:
Noma’lum qatnashgan ifoda(+),ildiz belgisi(+),ildiz belgisi ostidagi tenglamalar(+),irratsional tenglamalar(-),darajaga ko’tarish(+),chet ildiz(+),teng kuchli tenglamalar(+),ildiz yo’qolishi(-),qo’shma tenglama(-),tenglamaning hadlari(+),tenglamaning bir tomoni(+),tenglamaning ikkinchi tomoni(+),ildizdan qutilish(-),chet ildiz(+),teng kuchli sistema(+),kvadratga ko’tarish(+),tenglamaning aniqlanish sohasi(+),yechimga ega emas(+),funksiyaning aniqlanish sohasi(+),tenglamaning yechimi mavjud(+),tenglamaning yechimi mavjud emas(+),kub darajaga ko’tarish(+),n-darajaga ko’tarish(+),teng kuchli o’tish(-).
Asosiy masalalar.
Ratsional tenglamalarni yechish bosqichlari:
1)Tenglamadagi barcha ifodalarni tenglikning chap tarafiga o’tkaziladi; 2)Barcha ifodalar umumiy maxrajga keltiriladi;
Tenglama f(x) =0 ko’rinishiga keltiriladi;
𝑔(𝑥)
Suratining nollari topiladi; 5)Aniqlanish sohasi topiladi;
6)Aniqlanish sohasini qanoatlantiruvchi suratining nollari tenglamaning ildizlari bo’ladi.
Yoki f(x) =0 ratsional tenglamaning yechimini topish uchun uni
𝑔(𝑥)
quyidagi {𝑓(𝑥) = 0 teng kuchli sistema ko’rinishida yozib olinadi va yechiladi.
𝑔(𝑥) ≠ 0
Ratsional tengsizliklarni yechish bosqichlari:
Suratining nollari topiladi;
Aniqlanish sohasi(maxrajining nollari) topiladi; 3)Nollar son o’qida belgilanadi;
Hosil bo’lgan intervallarning ishoralari topiladi;
Tengsizlik belgisiga mos keluvchi oraliqlar tengsizlikning yechimi bo’ladi. III.Irratsional tenglamalarni yechish bosqichlari:
1)√𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Ko’rinishidagi quyidagi teng kuchli sistemaga o’tiladi va
yechiladi: { 𝑓(𝑥) ≥ 0 .
𝑓(𝑥) = 𝑔2(𝑥)
Yuqoridagi asosiy tushunchalar (va iboralar), asosiy masalalar va ularni
yechish bo’yicha faoliyat usullarining tahlili o’quvchining mavzuni o’zlashtirish uchun leksikonini aniqlashga imkon beradi. Bu leksikonda yuqoridagi o’quv ida keltirilgan va avvalgi sinflarda o’rganilgan tushuncha va iboralar ((+) bilan belgilangan) bo’lishi ravshan.
tushuncha va faoliyat usullarini puxta o’zlashtirishi zarurligini, qanday darajada o’zlashtirish kerakligini, qaysi tushuncha va faoliyat usullarini yangi mavzularda rivojlantirib borish kerakligini aniqlashga yordam beradi.
Misol: 5𝑥 − 𝑥−3 = 1 + 𝑥−5
tenglamani yechish.
2 3 6
∆ tenglamaning ikkala qismini kasrlarning umumiy maxrajiga, ya`ni 6 ga ko`paytiramiz, u holda
5𝑥 ∙ 6 − 𝑥−3 ∙ 6 = 1 ∙ 6 + 𝑥−5 ∙ 6
2 3 6
15𝑥 − 2 (𝑥 − 3 ) = 6 + (𝑥 − 5)
Qavslarni ochamiz va o`xshash hadlarni ixchamlaymiz:
15𝑥 − 2𝑥 + 6 = 6 + 𝑥 − 5, 13𝑥 + 6 = 𝑥 + 1, bunda 12𝑥 = −5, 𝑥 = − 5 .
12
Javob: 𝑥 = − 5 .
12
Quyida biz o`quvchilarda universal o`quv faoliyatini shakllantirishda kasr-ratsional tenglamalardan foydalanish imkoniyatini ko`rib chiqamiz. Buni biz matnli masalalarni kasr-ratsional tenglamalar yordamida yechishni o`rgatish orqali ko`rsatamiz.
Matnli masalalarni yechishda tenglamalarni qo‘llash ko‘pgina masalalarni yechishni osonlashtiradi. Bunda masalani yechish, odatda, ikki bosqichdan iborat bo‘ladi:
masalaning sharti bo‘yicha tenglama tuzish;
hosil bo‘lgan tenglamani yechish.
|
