Ko‘phadlarni qo‘shish. f (x) va g(x) ko‘phadlarning yig‘indisi deb, ularning mos darajalari oldidagi koeffitsientlarni qo‘shishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
bu yerda𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 bo‘lib, 𝑎𝑖 va𝑏𝑖 lar mos ravishda f (x) va g(x) ko‘phadlarning koeffitsientlaridir.
Ko‘phadlarni songa ko‘paytirish. f (x) ko‘phadni 𝛾 soniga ko‘paytmasi deb, berilgan ko‘phadning barcha koeffitsientlarini shu 𝛾 soniga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
𝑛
𝛾 𝑓(𝑥) = ∑ 𝛾𝑎𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
Ko‘phadlarni ko‘paytirish.K[x] to‘plamda ko‘paytirish amalini quyidagicha kiritamiz: f (x), g(x)∈ 𝐾[𝑥] ko‘phadlarning ko‘paytmasi sifatida koeffitsientlari
𝑑𝑗
𝑗
=∑
𝑘+𝑙=0
𝑎𝑘
𝑏𝑙
∈ 𝐾, 1≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 𝑚.
tenglik bilan aniqlangan
𝑗=0
𝜑 ( x)= ∑𝑛+𝑚 𝑑 𝑗𝑥 𝑗
ko‘phadga aytiladi, bu yerda
𝑑 0 = 𝑎 0𝑏 0, 𝑑 1 = 𝑎 0𝑏 1 + 𝑎 1𝑏 0, 𝑑 2 = 𝑎 0𝑏 2 + 𝑎 1𝑏 1 + 𝑎 2𝑏 0, …
Ma’lumki, ko‘phadlar ko‘paytmalarining darajasi berilgan ko‘phadlar darajalarining yig‘indisiga teng, ya’ni
deg 𝜑 ( x)= deg f ( x) +deg g( x).
Misol. f ( x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥-5va g( x)= 3𝑥 2 − 𝑥+2 ko‘phadlarni yig‘indisi va ko‘paytmasini toping.
g(x)+f(x)= (3𝑥 2 − 𝑥+2)+(𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥-5)= 𝑥 3+(3-2)𝑥 2+(-1+3) x+(2-5)= 𝑥 3 +
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
Ushbu ko‘phadlarning ko‘paytmasi quyidagiga teng:
g( x)∙ f ( x)= (3𝑥 2 − 𝑥+2)(𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥-5)=3𝑥 5 − 6𝑥 4 + 9𝑥 3 − 15𝑥 2 − 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 6𝑥 − 10 = 3𝑥 5 − 7𝑥 4 + 13𝑥 3 − 22𝑥 2 +
11𝑥 − 10. Ko’phadlar ustida aniqlangan amallar quyidagi xossalarga ega.
Xossa. a) f ( x) + g( x) = g( x) + f ( x);
b) ( f ( x) + g( x))+ h( x)= f ( x)+( g( x) + h( x)) ;
c) f ( x) ∙ g( x) = g( x) ∙ f ( x);
e) ( f (x) +g(x)) ∙h(x) = f (x) ∙h(x) + g(x) ∙h(x) .
𝑗=0
Isbot. Dastlabki ikkita xossaning isboti sodda bo‘lganligi uchun biz ularning isbotini keltirmaymiz.
𝑖=0
c) f(x)=∑𝑛
𝑎 𝑖 𝑥 𝑖
va g(x)= ∑𝑚
𝑏 𝑗𝑥 𝑗 bo’lsin. U holda
f(x)∙g(x)=∑𝑛+𝑚 ∑𝑗
𝑎𝑘𝑏𝑙𝑥𝑗 = ∑𝑛+𝑚 ∑𝑗
𝑏𝑙 𝑎𝑘𝑥𝑗=g(x)∙f(x)
𝑗=0 𝑘+𝑙=0
𝑗=0 𝑘+𝑙=0
d) Ko‘phadlarni ko‘paytirish assotsiativ ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik,
f(x)= ∑𝑛 𝑎 𝑥𝑖 , g(x)= ∑𝑚
𝑏 𝑥𝑗
, h(x) = ∑𝑝 𝑐 𝑥𝑘
𝑖=0 𝑖
𝑗=0 𝑗
𝑘=0 𝑘
𝑙+𝑘=0
𝑖+𝑗=0
𝑖+𝑗+𝑘=0
bo’lib f(x)(g(x)∙ 𝜑(𝑥)) ko’phadning 𝑥 𝑖 hadi oldidagi koeffitsiyenti esa,
𝑡 𝑙 𝑡
∑ 𝑎𝑖 ( ∑ 𝑏𝑗 𝑐𝑘) = ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘
𝑖+𝑙=0
𝑗+𝑘=0
𝑖+𝑗+𝑘=0
bo’ladi. Bu ikki yig‘indining tengligiga ko‘ra ko‘phadlar ko‘paytmasining assotsiativligi kelib chiqadi.
e) ∑𝑛+𝑚
( 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘)𝑐𝑙= ∑𝑛+𝑚
𝑎𝑘𝑐𝑙 + ∑𝑛+𝑚
𝑏𝑘𝑐𝑙 ekanligidan ko’phadlar
𝑘+𝑙=0
𝑘+𝑙=0
𝑘+𝑙=0
to’plami ustida qo’shish va ko‘paytrish amallari distributiv ekanligi kelib chiqadi. Endi ko’phadlar ustida ko’paytirish amaliga teskari bo’lgan bo’lish amalini kiritsak.
Ta’rif.Agar f(x) va 𝜑 (x) ko’phadlar uchun
f(x)= 𝜑 (x) ∙ 𝜔 (x)
tenglikni qanoatlantiruvchi 𝜔 (x) ∈ 𝐾[𝑥] ko’phad mavjud bo’lsa , f(x) ko’phad
𝜑 (x) ko’phadga bo’linadi deyiladi.
Agar f(x) ko’phad 𝜑 (x) ko’phadga bo’linsa, f(x) bo’linuvchi, 𝜑 (x) ko’phad esa bo’luvchi ko’phad deyiladi,hamda 𝜑 (x)|f(x) yoki f(x)⋮ 𝜑 (x) kabi belgilanadi.
Ta’rif. Agar f(x) va g(x) ko’phadlar uchun q(x) va r(x), deg r(x)< deg g(x) ko’phadlar topilib,
f(x)= 𝑔 (x) ∙ 𝑞 (x)+r (x) , (2)
tenglik o’rinli bo’lsa f(x) ko’phad g(x) ko’phadga qoldiqli bo’lingan deyiladi.Bu yerdagi q(x) ko’phadga bo’linma, r(x) ga qoldiq deyiladi. (2) tenglikka esa qoldiqli bo’lish formulasi deyiladi.
Misol. f (x) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥+4 ko’phadni g(x)= 3𝑥2 − 𝑥+2 ko’phadga qoldiqli bo’lish quyidagicha bajariladi:
Bundan q(x)=3x-11 va r(x)=31x+15 ekanligi kelib chiqadi.Demak,
f(x)=g(x)∙(3x-1)+(31x+15)
tenglikni hosil qilamiz. Ko‘phadlarning ildizlarini topish juda muhim ahamiyat kasb etadi. Chunki, ko‘plab matematik masalalarni yechish ko‘phadning ildizlarini o‘rganish masalasiga olib kelinadi. Shu sababli biz ko‘phadlarning ildizlarini o‘rganish masalasini keltiramiz.
Ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratish.
Ta’rif. f (x) ko‘phad uchun f (𝛼 ) = 0 shartni qanoatlantiruvchi 𝛼 soniga f (x) ko‘phadning ildizi deyiladi. Avvalgi mavzudan ma’lumki, f (x) ko‘phadni x−𝛼 ko‘phadga qoldiqli bo‘lish quyidagicha amalga oshiriladi:
f (x) = (x −𝛼) ∙q(x) + r. (3)
Ta’kidlash joizki, x −𝛼 ko‘phadning darajasi 1 ga teng bo‘lganligi sababli, qoldiqning darajasi nolga teng bo‘ladi. Shuning uchun qoldiqli bo‘lishdagi qoldiq ko‘phad r(x) o‘rniga r sonini yozish mumkin.
Teorema (Bezu teoremasi). f (x) ko‘phad x – 𝛼 ko‘phadga qoldiqsiz bo‘linishi uchun f (𝛼 ) = 0 bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Agar f (x) ko‘phad x −𝛼 ko‘phadga qoldiqsiz bo‘linsa, u holda
f(x) = (𝑥 − 𝛼 ) ∙ φ(𝑥)o‘rinli bo‘ladi. Demak,
f (𝛼) = (𝛼 − 𝛼 ) ∙ φ(𝛼)=0
Yetarliligi. Faraz qilaylik, x= 𝛼 nuqtada f (x) ko‘phad nolga aylansin, ya’ni f (𝛼 ) = 0 bo‘lsin. U holda f (x) =(𝑥 − 𝛼) ∙q(x) + r tenglikdan
r= f (𝛼)−(𝛼 − 𝛼 ) ∙ 𝑞(𝑥)=0
ekanligini hosil qilamiz. Demak, f(x) = (𝑥 − 𝛼 ) ∙ φ(𝑥) tenglik o‘rinlidir. Shunday qilib, f (x) ko‘phadning ildizlarini izlash, uning chiziqli bo‘luvchilarini izlash masalasiga teng kuchlidir. f (x) ko‘phadni (𝑥 − 𝛼) chiziqli ko‘phadga qoldiqli bo‘lishda keng qo‘llanadigan Gorner usulini keltiramiz. Kompleks sonlar maydonida berilgan quyidagi ko‘phadni qaraylik:
f(x)=𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2+…+𝑎𝑛,
f (x) ko‘phadni 𝑥 − 𝛼 chiziqli ko‘phadga qoldiqli bo‘lganda bo‘linma q(x) ni quyidagicha yozib olaylik:
q(x)=𝑏0𝑥𝑛−1 + 𝑏1𝑥𝑛−2 + 𝑏2𝑥𝑛−3+…+𝑏𝑛−1.
ko‘phadni (3) tenglikka qo‘yib, x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarini tenglasak,
𝑎0 = 𝑏0,
𝑎1 = 𝑏1 − 𝛼𝑏0,
𝑎2 = 𝑏2 − 𝛼𝑏1,
……………….,
𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 − 𝛼𝑏𝑛−2,
𝑎𝑛 = 𝑟 − 𝛼𝑏𝑛−1,
tengliklarni hosil qilamiz. Ya’ni
𝑏0 = 𝑎0,𝑏𝑘 = 𝛼𝑏𝑘−1 + 𝑎𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1
tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi
𝑟 = 𝛼𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛
tenglikdan r qoldiq yoki f (x) ko‘phadning x= 𝛼 nuqtadagi qiymati topiladi. Bu usul Gorner sxemasi deb atalib, quyidagicha jadval orqali ifodalanadi:
𝑎0
|
𝑎1
|
𝑎2
|
…
|
𝑎𝑛−1
|
𝑎𝑛
|
𝑎0
|
𝑎1 + 𝛼𝑏0
|
𝑎2 + 𝛼𝑏1
|
…
|
𝑎𝑛−1 + 𝛼𝑏𝑛−2
|
𝑎𝑛 + 𝛼𝑏𝑛−1
|
𝑏0
|
𝑏1
|
𝑏2
|
…
|
𝑏𝑛−1
|
r
|
Misol. f(x)=2𝑥5 − 3𝑥4 + 4𝑥2 − 5𝑥+7 ko‘phadni x −3 ga bo‘lishdagi q(x) bo‘linmani va r qoldig‘ini Gorner sxemasi yordamida toping.
𝛼
|
𝑎0
|
𝑎1
|
𝑎2
|
𝑎3
|
𝑎4
|
𝑎5
|
|
2
|
-3
|
0
|
4
|
-5
|
7
|
3
|
2
|
3
|
9
|
31
|
88
|
271
|
|
𝑏0
|
𝑏1
|
𝑏2
|
𝑏3
|
𝑏4
|
𝑏5
|
Shunday qilib, bo‘linma q(x)= 2𝑥4 + 3𝑥3 + 9𝑥2 + 31𝑥+88, qoldiq esa r = f (3) = 271 ga teng bo‘ldi.
Viyet formulasi. Bizga bosh koeffitsienti 1 ga teng bo‘lgan n - darajali
f(x)=𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2+…+𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
ko‘phad berilgan bo‘lib, 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛uning ildizlari bo‘lsin. U holda
f (x) =(x-𝛼1)∙ (x-𝛼2)∙… ∙(x-𝛼𝑛)
yoyilmaga ega bo‘ladi. Bu yoyilmaning o‘ng tomonidagi qavslarini ochib chiqib, o‘xshash hadlarini ixchamlagandan so‘ng bir hil hadlari oldidagi koeffitsientlarini tenglashtirsak, quyidagi tengliklarni olamiz:
𝑎1 = −(𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑛),
𝑎2 = 𝛼1𝛼2 + 𝛼1 𝛼3 + ⋯ + 𝛼1 𝛼𝑛 + 𝛼2𝛼3 + ⋯ + 𝛼𝑛−1𝛼𝑛,
𝑎3 = −(𝛼1𝛼2𝛼3 + 𝛼1𝛼2𝛼4 + ⋯ + 𝛼𝑛−2𝛼𝑛−1𝛼𝑛),
…………………………………………………..,
𝑎𝑛−1 = (−1)𝑛−1(𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ … ∙ 𝛼𝑛−1 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ … ∙ 𝛼𝑛−2 ∙ 𝛼𝑛+…+𝛼2 ∙ 𝛼3 ∙ … ∙ 𝛼𝑛),
𝑎𝑛−1 = (−1)𝑛𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ … ∙ 𝛼𝑛.
Ushbu tengliklar ko‘phad koeffisentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formula hisoblanib, Viyet formulasi deb ataladi. Tengliklarning o‘ng tomonidagi ifodalar simmetrik ko‘phadlar deyiladi.
|
