Chegaraiy shartlar. Normal va urunmaviy tashkil etuvchilari uchun chegaraviy shartlar. Ideal o‘tkazgich sirtidagi chegaraviy shartlar

Download 496,99 Kb.
bet	9/10
Sana	06.06.2024
Hajmi	496,99 Kb.
	#260751

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
elektromagnit

3.2.Chegaraiy shartlar. Normal va urunmaviy tashkil etuvchilari uchun chegaraviy shartlar. Ideal o‘tkazgich sirtidagi chegaraviy shartlar.
O‘tgan ma’ruzamizinng Maksvell tenglamalaridagi va kattaliklar muhitning xususiyatini xarakterlaydi va ular koordinatalarning funksiyasidan iborat. Ushbu va kattaliklar butun fazoda uzuluksiz funksiyalar emas. Ular ikki muhit chegarasida uzilishga ega. Maksvell tenglamalar sitemasida kuchlanganligi va induksiya vektorlari orasidagi munosabatni ko‘rsatuvchi formulalar hamda Om qonunining differensial shakli formulasidagi va kattaliklar, va kattaliklar sakrab o‘zgaradigan nuqtalarda, sakrab o‘zgaradi. Shuning uchun, maydon vektorlari har xil muhitlar chegarasida uzulishga ega bo‘lishi mumkin. Har xil muhitlar chegarasida maydon vektorlarining holatini xarakterlovchi shartlar chegarviy shartlar deb ataladi. Chegaraviy shartlar Maksvell tenglamalari yordamida kiritiladi. Bu yerda quyidagi eng muhim asosiy dalilning nazardan qochirmaslik lozim. Maksvell tenglamalaridan foydalanib, chegaraviy shartlarni hosil qilish uchun Ostragradskiy – Gauss va Stoks teoremalari yordamida bir qancha shakl almashtirishlarni amalga oshiramiz. Lekin ushbu matematik teoremalarning qo‘llanishida integrallanayotgan fazoviy xajmda funksiya uzuluksiz bo‘lishi kerak, ammo biz qarab chiqayotgan masalada esa ikki ixtiyoriy muhit chegarasida maydon vektorlari, ya’ni funksiyalar uzulishiga ega. Ushbu noqulaylikni bartaraf qilish uchun quyidagicha ish ko‘ramiz. va kattaliklar sakrab o‘zgarayotgan muhitlar chegarasini shunday tasavvur qilaylikki, u sohada yuqoridagi kattaliklar tez o‘zgarsin, lekin uzuluksizligicha qolsin. Manashu jarayonda, maydon vektorlari ham “o‘tish sohasi”da tez o‘zgaradi. Lekin uzuliksiz bo‘ladi. Buning orqasidan esa matematik teoremalarni qo‘llanishida talab etilgan shartlar bajariladi. Natijada biz kerakli bo‘lgan matematik shakl almashtirishlarni bajariyu olamiz va undan keyin “o‘tish sohasi” ning kengligini nolga intiltirib, chegaraviy shartni hosil qilib olamiz.
Shunday qilib, muhitlar chegarasidagi uzilishlar o‘rniga “o‘tish sohasi”ni qo‘llab, maqsadimizga erishamiz. Kelgusida qayta takrorlanishlardan qutilish maqsadida har doim ham “o‘tish sohasi” to‘g‘risida eslatib turmaymiz.

Magnit induksiya vektorining normal tashkil etuvchisi uchun chegarafiy shart.

Ushbu shart quyidagicha Maksvell tenglamasi orqali kiritiladi:
(3.26)
Ikki muhit chegarasida yetarli darajada kichik silindr ajratib olamiz. Bu holat 3.2 – rasmda tasvirlangan.

Silindrning bitta asosi birinchi muhitga ikkinchi asosi esa ikinchi muhitda joylashgan. Ikki muhitga tegishli fizik kattaliklarni 1 va 2 indekslar bilan belgilaymiz. Muhitlar chegarasidagi sirtga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishini ikkinchi muhit tomonga yo‘nalgan qilib tanlaymiz. Silindr asoslarining yuzalari va bo‘lib, ular muhitlar chegarasidagi sirtda silindr kesim yuzasi esa . Silindr yon sirtining yuzasi , balandligi esa bo‘lsin. Yuqoridagi (3.26) formulani butun xajmi bo‘yicha integrallaymiz:

(3.27)
Ostragradskiy – Gauss teoremasini qo‘llab, quyidagini hosil qilamiz:
(3.28)
Psevdovektor integrallash amalida ikkinchi muhitdagi sirt uchun u yo‘nalishida, birinchi uchun u normalga qarama – qarshi yo‘nalishda bo‘ladi. Biz yetarli darajada kichik silindr olganimiz uchun integrallash amali bajarilayotganda kattalikning o‘zgarishini hisobga olmaslik mumkin, ya’ni
(3.29)
Birinchi muhitdagi sirt bo‘ylab integral ham shunday hisoblanadi, lekin bu yerda va vektorlar normal vektor yo‘nalishiga qarama - qarshi ekanligini hisobga olish kerak. U holda quyidagicha hosil qilamiz:
(3.30)
Yon sirt bo‘yicha integralni o‘rtacha qiymat haqidagi teorema (matematik analiz kursidan) yordamida hisoblash mumkin. Yon sirtdagi induksiya vektorininng o‘rtacha qiymatini < > deb olib, quyidagini hosil qilamiz:
(3.31)
Yuqoridagi (7.4),(7.5) va (7.6) munosabatlarni hisobga olib, (7.3) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(3.32)
Silindrning balandligi nolga yaqinlashtiramiz, ya’ni . U holda quyidagi natijaga erishamiz:
(3.33)
Shuning uchun limitda (3.32) dan
(3.34)
tenglikni hosil qilamiz va ekanligini hisobga olib,
(3.35)
Magnit maydoni induksiyasi va magnit maydoni kuchlanganlik vektorlari orasidagi munosabatdan
(3.36)
ifodalarni yozib, va kattaliklar ikki muhit uchun tegishli va ular teng emasligini hisobga olib, shunday xulosa qilishimiz mumkin. Magnit induksiya vektorining normal tashkil etuvchisi uzuluksiz, lekin magnit maydoni kuchlanganlik vektorining normal tashkil etuvchisi esa uzilishga ega.

Elektr maydon induksiya vektorining normal tashkil etuvchisi uchun chegaraviy shart.

Ushbu shart ham quyidagi Maksvell tenglamasi orqali kiritiladi:
(3.37)
Yuqorida magnit induksiya vektori uchun qo‘llangan usulni va chizmadagi belgilashlarni bu yerda ham qo‘llaymiz. Lekin o‘rni vektorni yozishimiz lozim. Bularni inobatga olib, (7.7) ga o‘xshash tenglikni hosil qilamiz
(3.38)
bu yerda silindr ichidagi zaryad bo‘lib, u (3.37) ifodani xajm bo‘yicha integrallaganimizda o‘ng tomonda hosil bo‘ldi, ya’ni

Ushbu holda ham da va ekanligini hisobga olib,

tenglikni hosil qilamiz va undan esa
(3.39)
tenglikni keltirib chiqaramiz. Bu yerda silindr sirtidagi zaryad zichligi ekanligini esga olsak
(3.40)
ifoda hosil bo‘ladi. Ushbu formuladan shunday xulosa kelib chiqadi. Ikki muhit chegarasida elektr induksiya vektorlari orasidagi farq sirtdagi zaryad zichligiga teng yoki boshqacha aytganda, zaryad mavjud sirtda – ikki muhit chegarasida elektr induksiya vektorining normal tashkil etuvchisi uzulishga ega. Ushbu sirtdagi zaryadlar elektr maydonini hosil qiladi va buning natijasida vektor uzilishga ega bo‘ladi. (3.40) ifodadan elektr maydon kuchlanganligining normal tashkil etuvchisi haqida ham xulosa qilamiz:

Elektr maydoni kuchlanganligi vektorining tangensial tashkil etuvchisi uchun chegaraviy shart.

Ushbu shart quyidagi Maksvell tenglamasi yordamida kiritiladi.
(3.41)

3.3 – rasmda ko‘rsatilgandek ikki muhit chegarasidagi sirtni to‘g‘ri burchakli yuzaga ega

kontur bilan o‘ralgan yuza kesib o‘tmoqda. Ushbu to‘g‘ri burchakli yuza ikki muhit chegarasini liniya bo‘ylab kesmoqda. yuzaning va tomonlari esa perpendikulyar bo‘lsin. (3.41) tenglamani sirt bo‘ylab integrallaymiz:
(3.42)
Ushbu tenglamaning chap tomonini Stoks teoremasiga asosan o‘zgartiramiz:
(3.43)
Kontur bo‘yicha musbat yo‘nalishi sifatida 7.2 – rasmda strelka bilan ko‘rsatilgan yo‘nalishni tanlaymiz. U holda va bo‘yicha olingan integrallarni hisoblaymiz
(3.44)
(3.45)
Yuzaning yon tomoni bo‘yicha integralni o‘rtacha qiymat teoremasiga asosan hisoblab, quyidagini hosil qilamiz
(3.46)
(3.43) tenglamaning o‘ng tomonini hisoblash uchun ham o‘rtacha qiymat teoremasidan foydalanib, quyidagi ifodani hosil qilamiz
(3.47)
endi (3.44) – (3.47) ifodalarni hisobga olib, (3.43) tenglamani ushbu ko‘rinishda yozamiz
(3.48)
Bundan keyin chiziqni nolga yaqinlashtiramiz, ya’ni shartni qo‘llaymiz, u holda
(3.49)
holatga ega bo‘lamiz. Bu holda, ya’ni yuqoridagi limit bajarilganda va qiymatlar chekli bo‘lib qolishini eslatib o‘tamiz. Shunday qilib, ushbu limit amalga oshirilganda (3.48) tenglikdan

yoki
(3.50)
ayniyatni hosil qilamiz. Shunday qilib, ikki muhit chegarasida elektr maydon kuchlanganlik vektorining tangensial tashkil etuvchisi uzilishga ega emas. Lekin elektr maydon induksiya vektori esa uzilishga ega. Bu xulosa u ikki vektor orasidagi munosabatni ko‘rsatuvchi quyidagi formulalardan ham ko‘rinib turibdi:
(3.51)

Magnit maydoni kuchlanganlik vektorining tangensial tashkil etuvchisi uchun chegaraviy shart.

Ushbu shart uchun ham Maksvell tenglamasidan foydalanamiz:
(3.52)

Bu yerda ham (3.52) tenglamani har ikki tomonini sirt bo‘yicha integrallaymiz. U holda quyidagi ayniyatni hosil qilamiz:

(3.54)
bu yerda o‘ng tomondagi integral sirt bo‘ylab oquvchi va chegaraviy chiziqni kesib o‘tuvchi to‘la tokni beradi. Chap tomondagi integralga bu yerda ham Stoks teoremasi qo‘llasak, Natijada: (3.55)
endi va shartlar qo‘llab, to‘la tok belgisi (I) ning o‘rniga belgilashni qilib, quyidagi formulani hosil qilamiz

(3.56)
Bu yerda - tokning sirt zichligi ekanligini hisobga olsak,

(3.57)
munosabat kelib chiqadi. Bu yerda tokining yo‘nalashini magnit maydoni kuchlanganligining tangensial tashkil etuvchisining yo‘nalishiga perpendikulyar qilib tanladi.
Agar sirt toki bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, magnit maydoni kuchlanganligining tangensial tashkil etuvchisi uziliksiz bo‘ladi:
(3.58)

Download 496,99 Kb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Download 496,99 Kb.