18.
∠
1 va
∠
2 qo‘shni burchaklar. Quyidagi jadvalni to‘l
-
diring.
∠
1
12°
120°
45°
∠
2
18°
165°
19*.
∠
ABC
=30°,
∠
CBD
=80°.
∠
ABD
ni toping. Hamma
hollarni ko‘ring.
20*.
∠
MON
=45°,
∠
NOL
=104°.
∠
MOL
ni toping. Hamma
hollarni ko‘ring.
21.
15-rasmdagi noma’lum
x
burchakni toping.
15
94°+
x
x
b)
37°
x
c)
13
52
y
y
x
x
y – x
= 30°
x
:
y
= 4 : 5
a)
b)
2
x
= 3
y
x
y
c)
x
3
x
x
+
60°
x
2
x
x
3
x
a)
b)
c)
23*.
17-rasmga qarab masala tuzing va uni yeching.
16
24
. 18-rasmdagi burchaklarning gradus o‘lchovlarini toping.
26*.
Transportir yordamida
∠
PQR
=
45° burchakni yasang. Bu burchakka qo‘shni va
QR
tomon umumiy bo‘lgan qo‘shni burchakni yasang va uning gradus o‘lchovini toping.
27*.
Transportir yordamida
∠
MNL =
120° burchakni yasang. Bu burchakka qo‘shni va
MN
tomon umumiy bo‘lgan qo‘shni burchakni yasang va uning gradus o‘lchovini toping.
28.
20-rasmdan: a) vertikal; b) qo‘shni burchaklar juftini toping.
17
18
20
25
.
19-rasmdagi burchaklarning gradus o‘lchovlarini toping.
19
29.
AOB
burchak
OC
,
OD
va
OE
nurlar bilan to‘rtta teng burchakka bo‘lingan. Bu nurlar
qaysi burchaklarning bissektrisasi bo‘ladi?
30*
.
To‘g‘ri chiziqda
A, B
va
C
nuqtalar berilgan. Agar
AB
=
42
cm
,
AC
=
3
dm
2
cm
va
BC
=
74
cm
bo‘lsa, bu nuqtalarning qaysi biri qolganlarining orasida yotadi? Javobingizni
asoslang.
M
A
B
C
D
A
B
C
O
O
A
B
C
O
O
K
L
P
R
Q
K
L
M
P
Q
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a)
d)
b)
e)
c)
f)
22*.
16-rasmdagi noma’lum
x
burchaklarni toping.
40°
20°
60°
70°
30°
15°
44°
A P
K L
53
6.1. Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar
Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda hosil bo‘lgan bur-
chaklarning bittasi to‘g‘ri burchak bo‘lsa
(1-rasm)
, qolgan
burchaklar haqida nima deyish mumkin?
To‘g‘ri (90° li) burchak ostida kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar
perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar
deb ataladi.
Qishda tarnovdan yerga tik (perpendikulyar) o‘sib
tushgan sumalaklarga
(2-rasm)
ko‘zingiz tushgan
bo‘lsa kerak. 1-rasmda bir-biriga perpendikulyar
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar tasvirlangan. Bu to‘g‘ri chiziqlarning
perpendikulyarligi maxsus belgi yordamida
a
⊥
b
tarzda yoziladi va “
a
to‘g‘ri chiziq
b
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar” deb o‘qiladi.
Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan to‘rtta
to‘g‘ri burchak hosil bo‘ladi.
?
?
?
?
Teorema.
To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuq
-
tasidan shu to‘g‘ri chiziqqa yagona perpendikulyar
to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Isbot.
Aytaylik,
AB
to‘g‘ri chiziq va undagi
O
nuqta
berilgan bo‘lsin
(3-rasm)
. Ma’lumki,
OB
nurga uchi
O
nuqtada bo‘lgan 90° li
COB
burchak qo‘yish mumkin.
Unda
CO
to‘g‘ri chiziq
AB
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar
to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
Endi bu to‘g‘ri chiziqning yagona ekanini isbotlaylik.
Teskarisini faraz qilamiz:
O
nuqtadan o‘tuvchi, berilgan
AB
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar yagona bo‘lmasin,
ya’ni yana bitta perpendikulyar
DO
to‘g‘ri chiziq mavjud
bo‘lsin. U holda
DOB
va
COB
burchaklarning har biri
90° li bo‘lib,
OB
nurga qo‘yilgan burchaklar bo‘lib qola
-
di. Lekin bu
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega
yagona burchak qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga
zid, ya’ni bunday bo‘lishi mumkin emas.
Demak,
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning
O
nuqtasidan faqat
bitta perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin ekan.
Teorema isbotlandi.
Masala.
Agar 4-rasmda
∠
1=
∠
4
,
∠
2=
∠
3 bo‘lsa,
CO
⊥
AE
bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish.
Aytaylik,
∠
1=
∠
4=α
,
∠
2=
∠
3=β
bo‘lsin. Burchaklarni o‘lchashning xossa
-
siga ko‘ra:
∠
AOE
=
∠
1+
∠
2
+
∠
3+
∠
4=α+β+α+β=2α+2β=180°
,
2(α+β)=180°, ya’ni α+β=90°
bo‘ladi.
Unda:
∠
AOC
=
∠
1+
∠
2=α+β=90°, ya’ni
CO
⊥
AE
bo‘ladi.
1
a
b
90°
2
a
⊥
b
–
a
to‘g‘ri
chiziq
b
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar
4
A
O
E
B
C
D
1
2 3
4
3
B
A
C
D
O
?
?
?
?
Faollashtiruvchi mashq
PERPENDIKULYAR TO‘G‘RI CHIZIQLAR
6
54
a
to‘g‘ri chiziq va unda yotmaydigan
A
nuqta berilgan
bo‘lsin.
A
nuqtani
a
to‘g‘ri chiziqning biror
B
nuqtasi bilan
tutashtiramiz
(5-rasm)
. Agar
AB
kesma
a
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar bo‘lmasa,
AB
kesma
og‘ma
deb ataladi.
Agar
AB
kesma
a
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa,
u holda
AB
kesma
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyar
deyiladi.
6-rasmda
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyar tasvirlangan.
B
nuqta perpendikulyarning
asosi
deb nomlanadi.
To‘g‘ri chiziqning O nuqtasiga perpendikulyar tu
shirishning amaliy yo‘riqlari:
1-usul.
Transportir yordamida
(7
a
-rasm).
2-usul.
To‘g‘ri burchakli chizg‘ich (go‘niya) yordamida
(7
b
-rasm).
5
A
B
a
6
A
B
a
Biror to‘g‘ri chiziq chizing. Unda yotmaydigan biror nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa perpendi
-
kulyar va bir nechta og‘malar o‘tkazing. Perpendikulyar va og‘malarning uzunliklarini o‘l-
chab, o‘zaro taqqoslang. Qaysi kesmaning uzunligi eng kichik bo‘ladi? Javobingizni faraz
(gipoteza) ko‘rinishida ifodalang. Bu farazning to‘g‘riligini isbotsiz qabul qilsa bo‘ladimi yoki
uni albatta isbotlash kerakmi?
Mashq.
Dehqon-fermer xo‘jaligining xaritasi 8-rasmda
berilgan.
1. Fermer uyidan fermaga olib boruvchi yo‘l qurmoqchi.
Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha qurishni maslahat
berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni chizib ko‘rsating.
2. Fermer fermasidan kanalga olib boruvchi yo‘l
qurmoqchi. Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha qurishni
maslahat berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni chizib
ko‘rsating.
8
7
?
?
?
?
Geometrik tadqiqot
A
-fermer uyi
Kanal
B
-ferma
a
55
C
90°
O
B
B
ferma
A
fermer uyi
a
Kanal
0
10
20
30
40
50
60
70 80
90 1001101
2013
014
01
50
16
01
70
18
0
18
0
17
01
60
15
01
40
13
01
20 1
10 100
90 80 70
60
50
40
30
20
10
0
A
a
a
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
90
O
°
O
C
9 0 °
O
B
B
fer
ma
A
fer
mer
uy
i
a
Kan
al
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
1201
301
401
50
16
01
70
18
0
18
0
17
01
60
15
01
40
13
01
201
10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A
a
a
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
90
O
°
O
10
A
B
9
A
B
a
12
Ma’lumki, 9-rasmda tasvirlangan
A
va
B
nuqtalarni
tutashtiruvchi eng qisqa “yo‘l” bu –
AB
kesmadir. Shu
bois quyi sinflarda
AB
kesma uzunligini
A
va
B
nuq-
talar orasidagi masofa
deb qabul qilgan edik. Shunga
o‘x shash,
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan
masofa
deb
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan
AB
perpendikulyarning uzunligini qabul qilamiz.
Ravshanki, bu masofa
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa
tushirilgan barcha og‘malar uzunligidan kichik bo‘ladi
(10-rasm)
. Bu tasdiqning isbotiga keyin to‘xtalamiz.
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa sport
-
da ham ishlatiladi. Masalan, futbolda 11 metrlik jarima
zarbasi darvoza chizig‘idan 11 metr uzoqlikda yotgan
nuqtadan beriladi
(11-rasm)
.
Qurilishda devorlar va ustunlarning tikligi (polga
nisbatan perpendikulyarligi)
shoqul
degan asbob
yordamida tekshiriladi. Hozir quruvchilarimiz lazerli va
elektron shoqullardan ham foydalanmoqda
(12-rasm).
11
13-rasmda qadimgi Misrda burchaklarni o‘lchash jarayoni keltirilgan. Unga qarab bu
ishlar qanday amalga oshirilganini ayting.
Dalada to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazish uchun
eker
asbobidan foydalaniladi. 14-rasmga qarab
undan qanday foydalanish mumkinligini tushunib olsa bo‘ladi.
56
6.2.Teskarisini faraz qilib isbotlash usuli
Bu usulga ko‘ra, teoremaning sharti bajarilgan bo‘lsa-da, uning xulosasi o‘rinli bo‘lmasin
deb teoremada keltirilgan tasdiqning teskarisi faraz qilinadi:
AB
to‘g‘ri chiziqning
O
nuq-
tasiga tushirilgan perpendikulyar yagona bo‘lmasin, ya’ni yana bitta perpendikulyar
DO
to‘g‘ri chiziq mavjud bo‘lsin deb olinadi
(3-rasm).
U holda,
DOB
va
COB
burchaklarning har biri 90° li bo‘lib,
OB
nurga qo‘yilgan to‘g‘ri
burchaklar bo‘lib qoladi. Lekin bu
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega yagona burchak
qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga zid. Bu farazimizning noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi.
Demak,
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning
O
nuqtasidan yagona perpendikulyar to‘g‘ri chiziq
o‘tkazish mumkin.
|