Z. R. Babayeva Sirdaryo viloyati Guliston shahridagi 11-sonli umumiy oʻrta taʼlim maktabining matematika fani oʻqituvchisi

52
y
y
x
x
y – x
 
= 30°
x 
:
 y 
= 4 : 5
a)
b)
2
x
 
= 3
y
x
y
c)
x
3
x
x
+
60°
x
2
x
x
3
x
a)
b)
c)
23*.
17-rasmga qarab masala tuzing va uni yeching.
16
24
. 18-rasmdagi burchaklarning gradus o‘lchovlarini toping.
26*. 
Transportir yordamida
∠
PQR 
=
 
45° burchakni yasang. Bu burchakka qo‘shni va 
QR
tomon umumiy bo‘lgan qo‘shni burchakni yasang va uning gradus o‘lchovini toping.
27*. 
Transportir yordamida 
∠
MNL = 
120° burchakni yasang. Bu burchakka qo‘shni va 
MN
tomon umumiy bo‘lgan qo‘shni burchakni yasang va uning gradus o‘lchovini toping. 
28. 
20-rasmdan: a) vertikal; b) qo‘shni burchaklar juftini toping.
17
18
20
25
.
19-rasmdagi burchaklarning gradus o‘lchovlarini toping.
19
29.
 
AOB
burchak
OC
, 
OD
va
OE
nurlar bilan to‘rtta teng burchakka bo‘lingan. Bu nurlar 
qaysi burchaklarning bissektrisasi bo‘ladi?
30*
. 
To‘g‘ri chiziqda 
A, B
va 
C
nuqtalar berilgan. Agar 
AB 
= 
42
cm
,
AC 
= 
3 
dm
2
cm
va 
BC 
=
74 
cm
bo‘lsa, bu nuqtalarning qaysi biri qolganlarining orasida yotadi? Javobingizni 
asoslang.
M
A
B
C
D
A
B
C
O
O
A
B
C
O
O
K
L
P
R
Q
K
L
M
P
Q
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a)
d)
b)
e)
c)
f)
22*.
16-rasmdagi noma’lum 
x
burchaklarni toping.
40°
20°
60°
70°
30°
15°
44°
A P
K L

53
6.1. Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar
 
Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda hosil bo‘lgan bur-
chaklarning bittasi to‘g‘ri burchak bo‘lsa 
(1-rasm)
, qolgan 
burchaklar haqida nima deyish mumkin?
To‘g‘ri (90° li) burchak ostida kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar 
perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar 
deb ataladi. 
Qishda tarnovdan yerga tik (perpendikulyar) o‘sib 
tushgan sumalaklarga
(2-rasm)
ko‘zingiz tushgan 
bo‘lsa kerak. 1-rasmda bir-biriga perpendikulyar
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar tasvirlangan. Bu to‘g‘ri chiziqlarning 
perpendikulyarligi maxsus belgi yordamida
a
⊥
b
tarzda yoziladi va “
a
to‘g‘ri chiziq 
b
to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikulyar” deb o‘qiladi. 
Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan to‘rtta 
to‘g‘ri burchak hosil bo‘ladi. 
 
?
?
?
?
Teorema.
 
 
To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuq
-
tasidan shu to‘g‘ri chiziqqa yagona perpendikulyar 
to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Isbot.
Aytaylik, 
AB
to‘g‘ri chiziq va undagi 
O
nuqta 
berilgan bo‘lsin 
(3-rasm)
. Ma’lumki,
OB
nurga uchi
O 
nuqtada bo‘lgan 90° li 
COB
burchak qo‘yish mumkin. 
Unda
CO
to‘g‘ri chiziq
AB 
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar 
to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
Endi bu to‘g‘ri chiziqning yagona ekanini isbotlaylik. 
Teskarisini faraz qilamiz:
O
nuqtadan o‘tuvchi, berilgan 
AB 
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar yagona bo‘lmasin, 
ya’ni yana bitta perpendikulyar
DO
to‘g‘ri chiziq mavjud 
bo‘lsin. U holda
DOB
va
COB
burchaklarning har biri 
90° li bo‘lib,
OB
nurga qo‘yilgan burchaklar bo‘lib qola
-
di. Lekin bu
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega 
yagona burchak qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga 
zid, ya’ni bunday bo‘lishi mumkin emas. 
Demak,
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning 
O
nuqtasidan faqat 
bitta perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin ekan. 
Teorema isbotlandi.
 Masala.
Agar 4-rasmda
∠
1=
∠
4
, 
∠
2=
∠
3 bo‘lsa,
CO
⊥
AE
bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish.
 
Aytaylik, 
∠
1=
∠
4=α
, 
∠
2=
∠
3=β
bo‘lsin. Burchaklarni o‘lchashning xossa
-
siga ko‘ra:
∠
AOE
=
∠
1+
∠
2
+
∠
3+
∠
4=α+β+α+β=2α+2β=180°
, 
2(α+β)=180°, ya’ni α+β=90°
bo‘ladi. 
Unda:
∠
AOC
=
∠
1+
∠
2=α+β=90°, ya’ni
CO
⊥
AE
bo‘ladi.
1
a
b
90°
2
a
⊥
b
– 
a
to‘g‘ri 
chiziq 
b
 to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikulyar
4
A
O
E
B
C
D
1
2 3
4
3
B
A
C
D
O
?
?
?
?
Faollashtiruvchi mashq
PERPENDIKULYAR TO‘G‘RI CHIZIQLAR
6

54
 
a
to‘g‘ri chiziq va unda yotmaydigan 
A
nuqta berilgan 
bo‘lsin. 
A
nuqtani 
a 
to‘g‘ri chiziqning biror 
B
nuqtasi bilan 
tutashtiramiz 
(5-rasm)
. Agar 
AB
kesma 
a
 
to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikulyar bo‘lmasa, 
AB
kesma 
og‘ma
deb ataladi. 
Agar 
AB
 
kesma 
a
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, 
u holda 
AB
kesma 
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan 
perpendikulyar
deyiladi. 
6-rasmda 
A
nuqtadan 
a 
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan 
perpendikulyar tasvirlangan. 
B
nuqta perpendikulyarning 
asosi
deb nomlanadi.
To‘g‘ri chiziqning O nuqtasiga perpendikulyar tu­
shirishning amaliy yo‘riqlari:
1-usul.
Transportir yordamida 
(7
a
-rasm).
2-usul.
To‘g‘ri burchakli chizg‘ich (go‘niya) yordamida 
(7
b
-rasm).
5
A
B
a
6
A
B
a
Biror to‘g‘ri chiziq chizing. Unda yotmaydigan biror nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa perpendi
-
kulyar va bir nechta og‘malar o‘tkazing. Perpendikulyar va og‘malarning uzunliklarini o‘l-
chab, o‘zaro taqqoslang. Qaysi kesmaning uzunligi eng kichik bo‘ladi? Javobingizni faraz 
(gipoteza) ko‘rinishida ifodalang. Bu farazning to‘g‘riligini isbotsiz qabul qilsa bo‘ladimi yoki 
uni albatta isbotlash kerakmi?
Mashq.
Dehqon-fermer xo‘jaligining xaritasi 8-rasmda 
berilgan.
1. Fermer uyidan fermaga olib boruvchi yo‘l qurmoqchi. 
Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha qurishni maslahat 
berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni chizib ko‘rsating. 
2. Fermer fermasidan kanalga olib boruvchi yo‘l 
qurmoqchi. Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha qurishni 
maslahat berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni chizib 
ko‘rsating. 
8
7
?
?
?
?
 Geometrik tadqiqot 
A
-fermer uyi
Kanal
B
-ferma
a

55
C
90°
O
B
B
ferma
A
fermer uyi
a
Kanal
0
10
20
30
40
50
60
70 80
90 1001101
2013
014
01
50
16
01
70
18
0
18
0
17
01
60
15
01
40
13
01
20 1
10 100
90 80 70
60
50
40
30
20
10
0
A
a
a
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
90
O
°
O
C
9 0 °
O
B
B
fer
ma
A
fer
mer
uy
i
a
Kan
al
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
1201
301
401
50
16
01
70
18
0
18
0
17
01
60
15
01
40
13
01
201
10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A
a
a
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
90
O
°
O
10
A
B
9
A
B
a
12
Ma’lumki, 9-rasmda tasvirlangan 
A
va 
B
nuqtalarni 
tutashtiruvchi eng qisqa “yo‘l” bu – 
AB
kesmadir. Shu 
bois quyi sinflarda 
AB
kesma uzunligini 
A
 va 
B
 nuq-
talar orasidagi masofa
deb qabul qilgan edik. Shunga 
o‘x shash, 
A
 nuqtadan 
a
 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan 
masofa
deb 
A
nuqtadan 
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan 
AB
perpendikulyarning uzunligini qabul qilamiz. 
Ravshanki, bu masofa 
A
nuqtadan 
a
to‘g‘ri chiziqqa 
tushirilgan barcha og‘malar uzunligidan kichik bo‘ladi 
(10-rasm)
. Bu tasdiqning isbotiga keyin to‘xtalamiz.
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa sport
-
da ham ishlatiladi. Masalan, futbolda 11 metrlik jarima 
zarbasi darvoza chizig‘idan 11 metr uzoqlikda yotgan 
nuqtadan beriladi 
(11-rasm)
.
Qurilishda devorlar va ustunlarning tikligi (polga 
nisbatan perpendikulyarligi) 
shoqul
degan asbob 
yordamida tekshiriladi. Hozir quruvchilarimiz lazerli va 
elektron shoqullardan ham foydalanmoqda 
(12-rasm).
11
13-rasmda qadimgi Misrda burchaklarni o‘lchash jarayoni keltirilgan. Unga qarab bu 
ishlar qanday amalga oshirilganini ayting.
Dalada to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazish uchun 
eker
asbobidan foydalaniladi. 14-rasmga qarab 
undan qanday foydalanish mumkinligini tushunib olsa bo‘ladi.

56
6.2.Teskarisini faraz qilib isbotlash usuli
Bu usulga ko‘ra, teoremaning sharti bajarilgan bo‘lsa-da, uning xulosasi o‘rinli bo‘lmasin 
deb teoremada keltirilgan tasdiqning teskarisi faraz qilinadi: 
AB
to‘g‘ri chiziqning 
O
nuq-
tasiga tushirilgan perpendikulyar yagona bo‘lmasin, ya’ni yana bitta perpendikulyar 
DO 
to‘g‘ri chiziq mavjud bo‘lsin deb olinadi 
(3-rasm).
U holda, 
DOB
va 
COB
burchaklarning har biri 90° li bo‘lib, 
OB
nurga qo‘yilgan to‘g‘ri 
burchaklar bo‘lib qoladi. Lekin bu 
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega yagona burchak 
qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga zid. Bu farazimizning noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi. 
Demak, 
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning 
O
nuqtasidan yagona perpendikulyar to‘g‘ri chiziq 
o‘tkazish mumkin.

Download 53,35 Mb.