|
Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik intervallari
|
| bet | 10/11 | | Sana | 17.11.2023 | | Hajmi | 0,82 Mb. | | #100395 |
Bog'liq Rescue41 Qisman tartiblangan to‘plamlar-fayllar.org, Adobe Photoshop dasturida filtrlar bilan ishlash Reja-fayllar.org, Buddizm falsafasi oqimi va mashablari Reja-fayllar.org, AAAAAAA, bmi tayyor, Ideal gaz qonunlari. Termik va kalorik koeffitsiyentlar orasidagi munosabatlari, Fan –texnika progressining global informatsion – texnologik revolyutsaini, 11 M Vohidova, Davlat byudjeti daromadlar tizimi, Chiziqli diferensial tenglamalar sistemasi. Birinchi va Ikkinchi tartibli chekli ayirmali tenglamalar, Ravshanbekova Dilfuza1, Ravshanbekova Dilfuza, Армату́ра, Ideal va real gaz qonunlariNormal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik intervallari
a) model ( - ma’lum )- Noma’lum parametr uchun ishonchlilik intervalini tuzamiz. Normal taqsimotning xarakterizatsion xo ssasiga ko‘ ra: agar , va bo‘lsa, tasodifiy miqdor ham normal taqsim otga ega va uning parametrlati -boladi. Ushbu xarakterizatsion xossadan foydalanamiz:
- statistikaning taqsimoti
- statistikaning taqsimoti
- statistikaning taqsim oti
Demak, standart normal taqsimotga ega, ya’ni taqsimotnoma’lum parametrga bogliq emas. Markaziy statistika sifatida aynan shu statistikani olamiz:
Bu yerda lar shartni qanoatlantiruvchi normal taqsimot kvantillari. va larni interval uzunligi minimal boladigan qilib tanlash kerak: . Buning uchun Lagranj funksiyasini koramiz:
funksiyaning statsionar nuqtalarini aniqlaymiz:
bu yerda standart normal taqsimot zichlik funksiyasi. Bundan
ekanligi kelib chiqadi. Barcha da
o‘rinliligidan yoki boladi. Lekin dan boladi. va tengliklardan foydalanib, tengliknihosil qilam iz. Demak, kvantillarni (1 ) ga qo‘ysak.quyidagi tenglikni hosil qilam iz:
Demak, modelda ( - m a’ lum) noma’ lum parametr uchun
ishonchlilik intervali boladi.
b) model (a- m a’lum). Noma’lum dispersiya uchun ishonchlilik intervalini tuzamiz. M a’lumki, agar - bo‘lsa, , bo'ladi.Demak, markaziy statistika sifatida ni olamiz. Bu yerda va lar ozodlik darajasi n bo‘lgan xikvadrat taqsimot kvantillari. va kvantillarni ( — xi-kvadrat taqsimot zichligi) shartdan aniqlaymiz:
Demak, ,
Yuqoridagilarni inobatga olib,
tenglikni hosil qilamiz. Demak, (a - ma’lum) modelda noma’lum dispersiya uchun ishonchlilik intervali
bo‘lar ekan.
Yuqoridagilar va qolgan modellar uchun markaziy statistika,
uning taqsimoti va ishonchlilik intervalining chegaralari quyidagi jadvalda keltirilgan.
Model
|
Nomálum parametr
|
Markaziy statistika va unung taqsimoti
|
ishonvhlilik intervali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Misol va masalalar
1-misol. [ a, b ] intervalda ([a, b ]⊂ R ) tasodifiy nuqta olinganda, ya'ni [a, b]
ga tegishli qanday bir toplamning tushish ehtimolligi bu toplamning Lebeg o'lchamiga proportsional bo'lsin. Bu misol uchun Ω = [a, b] va ℑ bo'lsa [a, b ] daǵi
Borel toplamdan iborat, σ -algebrası bo'lib, ξ tasodifiy miqdorning quyidagicha
aniqlaymiz :
ξ (𝜔) = 𝜔𝜔 =∈ [𝑎, 𝑏]
ya'ni ξ tasodifiy miqdorning nuqtaning [ a, b] intervaldagi ma'nosiga teng bo'lib,
o'lchamli funkciya bo'ladi. Agar x < a bo'lsa,
𝐹 (𝑥) = 𝑃 (ξ < x) = 0
bo'ladi. Endi [ x∈a, b ] bo'lsin.
Bunday holatda (ξ < x) yuz berganda nuqta [a, x ) intervalga tushadi.
Bu intervalga tushish ehtimolligi uning uzunligiga proportsional, ya'ni
Agar x >b bo'lsa, F (x) = 1 bo'ladi. Demak, F (x) taqsimlash funksiyası quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi :
Yuqoridagi taqsimot funkciyası bilan aniqlangan ξ tasodifiy miqdori [a, b ]
Intervalda tekis taqsimlangan deyiladi.
Endi taqsimlot funkciyası xususiyatlarin keltiramiz. ξtasodifiy miqdorining
taqsimot funkciyası F (x) bolsin . Bunday holatda F (x) quyidagi hususiyatlarga
ega :
F1. Eger bolsa bunday, jag’dayda (monotonlıq hususiyati );
F2. (chegaralanganlik hususiyati );
F3. (chapdan uzliksizlik hususiyati ).
Isbot.x1 ≤ x2 uchun {ξ <𝑥1} ⊆ {ξ <𝑥2}
bo'lganligi sababli F1 hususiyatining ehtimolligi 3) hususiyatidan kelib chiqadı. F2 hususiyatin isbotlash uchun quyidagi {xn} ham {yn} sonli ketma -ketliklarni kiritamiz :
{ xn} kamayuvchi ketma-ketlik bo'lib, xnva { yn } osuvchi ketma-ketlik bo'lib, yn→+∞ bo'lsin.
𝐴n = {ξ <𝑥n}, 𝐵n = {ξ <𝑦n}
ko'pliklarni kiritamiz. Xn ∞ ekanliginen An koplikler ketma-ketligi monoton
kamayuvchi va ∩An =∅ bo'ladi. Ehtimollikning uzliksizlik aksiomasıga asoslanib
n→∞ ham Pn(A) → 0. Bunday holatda
Bundan F (x) funkciya monotonlıgidan
ekanligi kelib chiqadı. {yn} ketma-ketlik n→∞ ham +∞ ge monoton yaqinlashmoqchi bo'lganlıgi uchun Bnko'pliklar ketma ketligi da o'suvchi bo'lib, UBn=Ω bo'ladi.
Ehtimolliktıń hususiyatine asoslanib n→∞ ham P ( Bn) → 1 bo'ladi. Bunnan
munosabatlar kelib chiqadı.
F3 hususiyatin isbotlash uchun𝐴 = {𝜉<𝑥0 }, 𝐴n −= {𝜉<𝑥n} qubılıslardı kiritamiz. {xn } ketma - ketlik o'suvchi bo'lib, U An=A bo'ladi.
𝑃 (𝐴n) → 𝑃 (𝐴)
Bundan
teńlik kelip shıǵadı. Shuni aytıb ótish kerak , taqsimot funkciyasın
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝜉 ≤ 𝑥)
deb olsak, bunday holatda u unnan uzliksizlik xossasiga ega bolar edi. Lekin,
yuqoridagidek tańlangan F(x ) undan uzliksiz bola olmaydı, sababi uzliksizlik aksiomasıga kóra
(𝑥 + 0) − 𝐹(𝑥)=
Bu bolsa, óz navbatida , F(x ) nıng uzliksiz bolishi uchun hohlagan x lar uchun
(ξ = x) = 0
Bajarilishi zárur va yetkilikli ekanligin kórsatadi. Keltirilgen munosabatlardan shu kelip chıqadı :
(𝑥 ≤ ξ ≤ y) = 𝑃([𝑥, 𝑦]) = 𝐹(𝑦 + 0) − 𝐹(𝑥)
|
| |
