|
-§. Parametr funksiyalari uchun delta usulning qo‘lanilishi
|
| bet | 9/11 | | Sana | 17.11.2023 | | Hajmi | 0,82 Mb. | | #100395 |
Bog'liq Rescue414-§. Parametr funksiyalari uchun delta usulning qo‘lanilishi
Delta usul baholanayotgan noma’lum parametr funksiyalarniTeylor qatoriga yoyishga asoslanadi. Faraz qilaylik, biz tasodifiy miqdomi n ta bog'liqsiz tajribada kuzatib, statistic tanlanmaga ega bo‘laylik va unga mos statistik model , noma’lum parametr aniqligida berilgan bolsin:
Bu holda matematik statistikaning asosiy masalasi tanlanma bo‘yicha noma’lum parametmi baholashdan iboratdir. Buning uchun biz haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli, momentlarusuli, Bayes usuli, kichik kvadratlar usuli va boshqa usullami qollab, uchun biror bahoni tuzib olishimiz mumkin. Agarda bizdan ning funksiyasi ni baholash talab etilayotgan
bolsa, tabiiyki, uning bahosini ning xossalarini e ’tiborga olganholda o‘miga qo'yish usuli asosida kabi qurishimiz mumkin. Uholda ning ga baho sifatida asimptotik xossalarini uningTeylor qatoriga yoyilmasi
(1)
orqali ning ga qanchalik yaqinligini e ’ tiborga olgan holdapolinomial approksimatsiyaga asoslangan holda aniqlashimiz mumkin. Aynan mana shu usul delta usulning mohiyatini tashkil etadi.
Albatta umumiy holda (1) qatomi vektor funksiyani vektor parameter bo‘yicha qatorga yoyilmasi deb qarash lozim.
Ushbu usulni yaxshiroq aniqlash uchun biz parametr va uning funksiyasi skalyar, ya’ni bir olchovlik bo'lgan holgato‘xtalib o‘tamiz.
Quyidagi misolni ko‘rib o‘taylik. Ma’lumki, agar tanlanma parametrlik normal taqsimotdan olingan bolsa, , bolib, ma’ lumligida , ningbahosi - o‘rta arifmetik qiymat , ning asimptotik taqsimoti markaziy limit teoremaga asosan standart normaldir:
(2)
Ammo ko‘p hollarda bizni x o'rniga uning biror funksiyasining asimptotik xossalari qiziqtiradi. Bunday hollarda matematik statistikada delta usuldan foydalaniladi. Biz bu usul mohiyatiniquyidagi teoremada asoslab beramiz.
Teorema (delta usul).Faraz qilamiz, shundaystatistikalar ketma-ketligiki, u uchun da
bolsin. Bu yerda a biror o‘zgarmas va esa shunday sonlar ketma-ketligiki, da . Agar y/(x) - haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyasi x=a nuqtada differensiallanuvchi va bolsa, u holda
Demak, biz (3) yaqinlashishni uchun qolasak, u holda(2) ga asosan,
(4)
Endi (4) ga asosan yetarlicha katta n larda taqsimot bo‘yicha quyidagi
(5)
taqribiy tenglikka ega bo'lamiz. Masalan, bo'lsa, u holda(5) dan statistikaning taqribiy taqsimotini normal taqsimot orqaliquyidagidek aniqlaymiz:
(6)
Demak, delta usul mohiyatida funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasi
yotibdi. Yuqorida biz mana shu yoyilmaning yuqori tartibli hadlarinitashlab yuborish natijasida olinadigan
chiziqli approksimatsiyasidan foydalandik. Agarda yoyilmada bo‘lib qolsa, u holda biz delta usulni quyidagi kvadratikapproksimatsiyaga asoslangan holda amalga oshiramiz:
(7)
va h.k. Shuni ta’kidlaymizki, (6) taqribiy tenglik da o‘rinlidir.
Agarda bo‘lsa, u holda (2) dan va (7) dan esa
ya’ni .Bu yerda - gamma taqsimot.
Demak, delta usul orqali ko ‘ plab m urakkab funksional xarakteristikalarning taqribiy (asim ptotik) taqsimotlarini aniqlashda foydalanish qulay ekan
M ashq.Markaziy limit teorema shartlarida
ning taqribiy taqsimotini aniqlang.
Javob:
|
| |
