Yechish. . Mavhum o’qgacha bo’lgan masofasi birdan kichik nuqtalardan tashkil topgan yo’lak.
1.3.2-misol. tengsizlikni qanoatlantiruvchi kompleks tekislikning barcha nuqtalari to’plamini geometrik tasvirlang.
Yechish. . Mavhum o’qgacha bo’lgan masofasi noldan katta nuqtalardan tashkil topgan yo’lak.
Kompleks sonni boshqacha ham tasvirlash mumkin. Buning uchun fazoda Dekart koordinatalar sistemasini olib, unda markazi nuqtada, radiusi ga teng bo’lgan ushbu
(1.3.1)
sferani qaraymiz. Ravshanki, bu sfera o’qni hamda nuqtalarda kesadi. Sferaning nuqtasini harfi bilan belgilab, uni qutb deb yuritamiz.
Aytaylik, hamda koordinata o’qlari mos ravishda kompleks tekislikdagi haqiqiy hamda mavhum o’qlar bilan ustma –ust tushsin (1.3.2-chizma).
1.3.2-chizma. Kompleks sonning sferadagi tasviri.
kompleks sonni olaylik. Uning kompleks tekislikdagi tasviri bo’lgan nuqta bilan sferaning nuqtasini to’g’ri chiziq kesmasi yordamida birlashtiramiz. Bu to’g’ri chiziq sferani nuqtada kesadi (1.3.2-chizma). Bu nuqta kompleks sonning sferadagi tasviri deyiladi.
Keltirilgan qoidaga ko’ra kompleks tekislikdagi har bir nuqtaga (kompleks songa) sferada bitta nuqta mos kelishini ko’ramiz.
Endi sferaning nuqtasini ( nuqtadan boshqa) olaylik. va nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq kompleks tekislikni biror nuqtada kesadi. Uni sferaning nuqtasiga mos qo’yamiz. Bu qoidaga ko’ra sferadagi har bir nuqtaga kompleks tekislikda bitta nuqta mos kelishini ko’ramiz.
Shunday qilib, kompleks tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami bilan ( bilan) sferaning nuqtalari to’plami o’zaro bir qiymatli moslikda bo’lar ekan.
Shuni takidlash lozimki, kompleks tekislikdagi nuqta koordinata boshidan uzoqlasha borgan sari uning sferadagi tasviri (qutbga) yaqinlasha boradi.
Agar kompleks tekislikda deb ataluvchi “nuqta” (cheksiz uzoqlashgan nuqta) olinsa va uni sferadagi ga mos keluvchi nuta deb qaralsa, unda
to’plam bilan sfera nuqtalaridan iborat to’plam o’zaro bir qiymatli moslikda bo’ladi:
Bu moslik kompleks tekislikning stereografik proeksiyasi deyiladi.
Odatda to’plam kengaytirilgan kompleks tekislik, sirt esa Riman sferasi deb ataladi. Sferadagi nuqta koordinatalari bilan kompleks tekislikdagi mos nuqta koordinatalari orasidagi bog’lanishni topish qiyin emas.
Aytaylik, kompleks tekislikdagi nuqtaga sferadagi nuqtaga mos kelsin (1.3.2-chizma).
Ravshanki, hamda nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (parametrik tenglamasi) quydagicha
(1.3.2)
bo’ladi, bunda bo’lganda nuqta, bo’lganda esa nuqta hosil bo’ladi.
Kompleks tekislikdagi nuqta koordinatalari va lar ma’lum bo’lganda nuqtaning koordinatalari lar quydagicha aniqlanadi.
Malumki, nuqta ham (1.3.2) to’g;ri chiziqda ham sferada yotadi. Shuni e’tiborga olib, , , larni sfera tenglamasi
dagi , va larni o’rniga qo’yib topamiz:
.
Demak,
(1.3.3)
bo’ladi.
Sferadagi nuqtaning koordinatalari lar ma’lum bo’lganda tekislikdagi nuqtaning koordinatalari va lar quydagicha aniqlanadi: (1.3.2) to’g’ri chiziq tenglamasidan
bo’lishini topib, uni (1.3.2) sistemaning birinchi ikkita tenglamasidagi ning o’rniga qo’yamiz:
Bu tengliklardan
bo’lishi kelib chiqadi.
Kompleks tekislikda
nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalarga mos keluvchi sferadagi nuqtalar, ya’ni ularning stereografik proyeksiyalari
bo’lsin.
Ushbu
miqdor va nuqtalar orasidagi masofa (Yevklid masofasi) deyiladi.
va nuqtalar orasidagi masofa va nuqtalar orasidagi sferik masofa deb ataladi va u kabi belgilanadi.
Ravshanki, va nuqtalar orasidagi masofa
bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan (1.3.2) formulaga ko’ra
Bo’lishini e’tiborga olib va nuqtalar orasidagi sferik masofani topamiz:
(1.3.4)
Kengaytirilgan kompleks tekislik da bo’lgan holda (1.3.4) formula
(1.3.5)
ko’rinishda bo’ladi.
XULOSA.
I bob bitiruv malakaviy ishini yoritishda zarur bo’ladigan boshlang’ich tushunchalarni o’z ichiga olgan. Bu bob 3ta paragrifdan iborat bo’lib, birinchi paragrovda – kompleks sonning ko’rinishlari haqida, ikkinchi paragrovda – kompleks sonni darajaga ko’tarish va undan ildiz chiqarish haqida, uchinchi paragrovda esa kompleks sonning geometrik tasviri haqidagi ma’lumotlar berilgan va ular misollar bilan amaliy tasvirlangan.
| 