Isboti. Markov jarayoni bo`lgani sababli , uchun
ya`ni (2.2.4) tenglik isbotlandi. (2.2.5) tenglik ham shu kabi isbotlnadi .
(2.2.4) va (2.2.5) tenglamalar Kolmogorov – Chepmen tenglamalari deyiladi.
Endi (2.2.3) shartni qanoatlantiruvchi Markov jarayoni mavjud bo`lishi uchun funksiya qanday xossaga ega bo`lishi kerakligini aniqlaymiz.
2.2.3-ta`rif.( o`lchovli fazo bo`lsin. Agar funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa :
-
ning funksiyasi deb qaralgan har bir , da ehtimollik taqsimotidan iborat;
-
Har qanday va uchun ga nisbattan o`lchovli;
-
da , ixtiyoriy uchun (2.2.4) tenglik o`rinli;
-
Agar bo`lsa , u holda bu yerda
U o`tish funksiyasi deb ataladi.
Bu ta`rifdagi 1- va 2-xossalar funksiyani shartli taqsimot ekanligini asoslaydi.
Endi boshlangich shartni qanoatlantiruvchi qandaydir jarayonning chekli o`lchovli taqsimotlarini funksiya yordamida ushbu
=
formula orqali ifodalaymiz.
3- va 4-xossalardan bu chekli o`lchovli taqsimotlarning moslanganligi kelib chiqadi va shuning uchun ham ular Kolmagarov teoremasiga ko`ra , jarayonni to`la aniqlaydi. (2.2.6) formula va (2.2.2) ga ko`ra
demak , 2.2.3- ta`rifga ko`ra biz
shartni qanoatlantiruvchi Markov jarayoni qurdik.
Agar tenglik bajarilsa , u holda bir jinsli Markov jarayoni deyiladi va bunda o`tish ehtimolini qisqalik uchun ko`rinishda yoziladi.
Bir jinsli Markov jarayonlari uchun Kolmogorov-Chepman tenglamasi soddalashadi :
Markov jarayoni chekli o`lchovli taqsimotlarni toppish uchun uning o`tish ehtimollari va biror boshlang`ich momentdagi bir o`lchovli taqsimotlarini bilish yetarli , chunki to`la ehtimol formulasi va Markov xossasini ishlatib ,
tenglikni hosil qilamiz, bu yerda
| 