Xususiy hollar:
sinx=0, x= πn ; sinx=1, x=(4n+1)π/2 ; sinx=-1 , x=(4n-1)π/2.
cosx=0, x=(2n+1)π/2 ; cosx=1, x=2πn ; cosx=-1, x=(2n+1)π.
tgx=0 , x=πn ; tgx=1, x= π/4+ πn ; tgx=o, x=- π/4+ πn.
ctgx=0 , x=(2n+1)π/2 ; ctgx=1, x= π/4+ πn ; ctgx=-1, x=3π/4+ πn.
21-Mavzu: Sodda trigonometrik tengsizliklarni yechish.
Beruniy va Ulug'bekning trigonometrik "Zij"lari haqida ma'lumot.
Ta’rif: cosx> a, cosx < a, cosx ≤ a, cosx ≥ a, sinx > a, sinx < a, sinx ≤ a, sinx ≥ a,
tgx > a, tgx< a, tgx ≤ a, ctgx > a, ctgx< a, ctgx ≤ a ko’rinishdagi tengsizliklar eng sodda trigonometrik tengsizliklar deyiladi.
y= cosx davri ga teng trigonometrik funksiya bo'lgani uchun cosx> a tengsizlikni uzunligi ga teng biror kesmada yechish kifoya. cosx> a tengsizlikning barcha yechimlari esa topilgan bu yechimlarga n, n = 0, ±1, ... sonlarni qo'shish bilan hosil qilinadi. Odatda, y= cosx funksiya uchun uzunligi 2n bo'lgan [-n; n} kesma asosiy kesma deb olinadi.
1 - m a s a 1 a. cos x >a tengsizlikni yeching.
y = cosx funksiyaning kesmadagi grafigini qaraylik va unda y = 1/2 to'g'ri chiziqni o'tkazaylik . y =1/2 to'g'ri chiziq y= cosx funksiya grafigini abssissalari
bo'lgan A va B nuqtalarda kesib o'tadi, Berilgan tengsizlikning kesmadagi yechimlari tengsizliklar bilan ifodalanishi rasmdan ravshan ko'rinib turibdi.
U holda cos x > 1/2. Tengsizlikning barcha yechimlari bo'ladi.
Javob: .
cos x > 1/2 tengsizlikni birlik aylana yordamida ham yechish mumkin. Kosinusning ta'rifiga ko'ra, cosx — birlik aylana nuqtasininig abssissasidir. cos x > 1
tengsizlikni yechish uchun birlik aylananing qanday nuqtalari 1/2 dan katta abssissaga ega ekanini aniqlash kerak.
1/2 ga teng abssissaga birlik aylananing ikkita nuqtasi: M1 va M2 egadir. M1 nuqta P(l; 0) nuqtani - burchakka va, shuningdek, (n = ±1, ± 2,...) burchaklarga burishdan hosil qilinadi, M2 nuqta esa - burchakka va, shuningdek, (n = ±1, ± 2,...) burchaklarga burishdan hosil bo'ladi. Birlik aylana yoyining M1M2 to'g'ri chiziqdan o'ngda yotuvchi barcha M nuqtalari -^ dan katta abssissaga ega bo'ladi. Shunday qilib, cos x >1/2- tengsizlikning yechimi oraliqdagi barcha x sonlaridir. Berilgan tengsizlikning barcha yechimlari esa oraliqlar to'plamidan iborat.
2 - m a s a 1 a. cosx > -1 tengsizlikni yeching.
y = cosx funksiya x = (2n + 1 )π, n€ Z nuqtalardagina -1 ga teng qiymatlarni, barcha boshqa nuqtalarda esa -1 dan katta qiymatlarni qabul qilgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari (2n-1)π (2n+ l)π, n€Z oraliqlardan iborat bo'ladi.
Javob: (2n-1)π (2n+ l)π, n€Z
3 - m a s a 1 a. cosx > 1 tengsizlikni yeching.
Y=cosx funksiyaning qiymatlari x ning barcha haqiqiy qiymatlarida 1 dan kichik yoki 1 ga teng bo'lgani uchun cosx> 1 tengsizlik yechimga ega emas.
Javob: 0 — tengsizlik yechimga ega emas.
Yuqoridagi masalalaming tahlili cosx > a tengsizlikni yechishda quyidagi hollar bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi:
-1 < a< 1. Bu holda cosx > a tengsizlikning yechimlari
- arccosa + 2πn arccosa + 2πn, n€ Z oraliqlardir (a rasm).
2) a < -1. Bu holda haqiqiy sonlar to'plami R =(-∞; ∞) dan olingan barcha sonlar
cosx > a tengsizlikning yechimi bo'ladi (-b rasm).
3) a > 1. Bu holda cosx > a tengsizlik yechimga ega emas (d- rasm).
cosx < a, cosx ≤ a, cosx ≥ a kabi tengsizliklarning yechimlari ham yuqoridagi usul bilan topiladi.
y = sinx funksiya ham y = cosx funksiya kabi 2π davrli trigonometrik funksiyadir. Shuning uchun sinx > a tengsizlikni uzunligi 2π bo'lgan kesmada yechish kifoya. sinx > a tengsizlikning barcha yechimlari esa topilgan yechimlarga 2πn, n=0, ±1, +2, ... sonlarni qo'shish bilan hosil qilinadi.
Yuqorida keltirilganlardan shunday xulosaga kelish mumkin:
1) -1<a<1 bo'lsa, sinx >a tengsizlikning yechimlari- arcsina + 2πn n- arcsina + 2πn, n€ Z oraliqlar bo'ladi (-a rasm).
2) a<-1 bo'lsa, barcha haqiqiy sonlar sinx> a tengsizlikning yechimlaridir (b rasm).
3) a > 1 bo'lsa, sinx > a tengsizlik yechimga ega emas (d rasm).
y=tgx π davrli trigonometrik funksiya bo'lgani uchun tgx > a tengsizlikning barcha yechimlarini uzunligi π ga teng bo'lgan biror oraliqda topish kifoya, chunki boshqa hamma yechimlar topilgan yechimlarga πn, n=0, ±1, ... sonlarni qo'shish bilan hosil qilinadi. Odatda, y=tgx funksiya uchun uzunligi π bo'lgan oraliq asosiy oraliq deb olinadi. y = tgx funksiyaning qiymatlar sohasi — barcha haqiqiy sonlar; demak, tgx > a tengsizlik a ning ixtiyoriy qiymatlarida yechimga ega. Bu yechimlar arctga + πn < x < + πn, n € Z ko'rinishda bo'ladi. tgx > a, tgx< a, tgx ≤ a tengsizliklarning yechimlari ham shu kabi topiladi.
ctgx > a tengsizlik ixtiyoriy a€R uchun yechimga ega. Bu tengsizlikning yechimlari barcha πn < x < arcctga + πn,n€ Z oraliqlardan iborat. Masalan, ctgx > 1 tengsizlikning yechimlari πn < x < arcctgl + πn, ya'ni -πn < x <π/4 + πn, n € Z bo'ladi.
Berilgan trigonometrik tengsizlikni yechish uchun uni ayniy almashtirishlar yordamida sodda trigonometrik tengsizlik ko'rinishiga olib kelinadi. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullarini masalalarni hal qilish jarayonida tushuntiriladi.
Trigonometriyaning rivojiga buyuk allomalarimiz Muhammad al-Xorazmiy, Ahmad al-Farg'oniy, Abu Rayhon Beruniy, Mirzo Ulug'bek, Ali Qushchi, G'iyosiddin Jamshid al-Koshiy katta hissa qo'shganlar. Yulduzlarning osmon sferasidagi koordinatalarini aniqlash, sayyoralarning harakatlarini kuzatish, Oy va Quyosh tutilishini oldindan aytib berish va boshqa amaliy ahamiyatga molik masalalar aniq hisoblami, bu hisoblarga asoslangan jadvallar tuzishni taqozo etgan. Ana shunday astronomik (trigonometrik) jadvallar Sharqda «Zij»lar deb atalgan. O'z davrida nihoyatda aniq bo'lgan «Zij»lardan biri Mirzo Ulug'bekning «Zij»i - «Ziji Ko'ragoniy» asaridir. Bunda sinuslar, tangenslar jadvali l0-8gacha aniqlikda berilgan. G'iyosiddin Jamshid al-Koshiy «Vatar va sinus haqida risola»sida sin 1° ni verguldan so'ng 17 xona aniqhkda hisoblagan: sin 1°= 0,0174524064372835 ... .
|
