1-rasm. Suyuqlik oqimining uzluksizlik tenglamasini keltirib chiqarishga oid.
Buning uchun oqimdan hajmi dV = dx,dy,dz bo'lgan elementar parallelepipedni ajratib olamiz (1-rasm).
x o'qi bo'ylab harakat tezligining tashkil qilgan Wx deb belgilaymiz. Unda, parallelepipedning dy*dz chap tomonidan cheksiz qisqa vaqt ichida unga quyidagi miqdorda suyuqlik kiradi:
M.v = pw• dy • dz • dr
bu erda p - suyuqlik zichligi.
Suyuqlik umuman siqilmaydi degan tahminni qabul qilamiz. Unda, suyuqlik zichligi p o'zgarmas bo'ladi.
Parallelepipedning qarama-qarshi tomonida
d = d - d. dT + du T u
SWx suyuqlikning tezligi dx qiymatga farq qiladi va quyidagiga teng bo ladi:
Sx
Qwx J
wx ч dx
x
Sx
O’ng tomondan dr vaqt ichida oqib chiqqan suyuqlik miqdori quyidagiga teng:
M v4. — p\ w + ^^*. • dx | • dy • dz • dx
x+ux x
V dx I
Parallelepipedda ortib borayotgan massa miqdori
Swx
-p dx • dy • dz • dr
dx
dMx — Mx - Mx+dx
ga teng bo'ladi.
u va z o'qlari bo'ylab, suyuqlik massasining o'zgarishi quyidagiga teng bo'ladi:
dwy
dM — -p dy • dx • dz • dx
Sy
„ t dw
dM — -p dz • dx • dy • dx
z dz
Parallelepipedda dr vaqt birligi ichida suyuqlik massasi umumiy miqdorining o'zgarishi koordinata o'qlari bo'ylab, uning o'zgarishlari yig'indisiga teng:
dM — dM + dMv + dMx
x y z
^dWx dwy dWz ^
— -p • —- ч ч I - dx • dy • dz • dx
v dx dy dz I
Agar, p=const bo'lganda, parallelepiped ichidagi suyuqlik massasi o'zgarmas bo'lishi kerak. Demak, massaning umumiy o' zgarishi dM=0 yoki
dwx dwy dw
—- + —- + —- — 0
(6)
dx dy dz
d^ dwy dw
yoki divw=0, bu erda , , x,y, z o'qlari yo'nalishida tezliklarning o'zgarishi. Ushbu
dx d^ dz
tenglama siqilmaydigan suyuqlik oqimi uzluksizligining differenstial tenglamasi.
2-rasm. Suyuqlik oqimining uzluk-
sizlik tenglamasini kelti-
rib chiqarishga oid
(6) tenglamani integrallagandan keyin,
suyuqlikning turg'un harakati paytida truba quvurining
har bir ko'ndalang kesimidan vaqt birligida bir xil
miqdorda suyuqlik oqib o'tadi (2-rasm).
G — G — G — ■■■ — const (7)
bu erda G - massaviy sarf, kg/s; G = pwF.
Tomchili, siqilmaydigan suyuqliklar uchun p =
const bo'lgani uchun (7) tenglama ushbu ko'rinishni
oladi:
wF — wF — wiF3 — const (8)
(8) tenglamadan ko'rinib turibdiki, tomchili suyuqlik harakatining tezligi trubaning ko'ndalang kesim yuzasiga teskari proporstionaldir:
Ч_ = Fl
W2 F1
Shunday qilib, (8) tenglama massa saqlanish qonunining xususiy holi bo'lib, suyuqlik oqimining moddiy balansini ifodalaydi.
Agar, suyuqlik tarkibida havo yoki suv bug'i, yoki havo bo'shliqlari paydo bo'lsa, oqim
uzluksizligi buziladi.
Suyuqlik harakatining Eyler differensial tenglamasi
Oqimning istalgan nuqtasida suyuqlik harakatining tezligi va bosim orasidagi bog'liqlikni L. Eylerning harakat tenglamasi yordamida ifodalash mumkin.
Ushbu tenglamani keltirib chiqarish uchun turg'un harakat qilayotgan ideal suyuqlik oqimidan dV=dxdydz hajmli elementar parallelepiped ajratib olamiz (3-rasm).
Parallelepipedga ta’sir etuvchi og'irlik va bosim kuchlarining koordinat o'qlaridagi proekstiyalari quyidagicha bo'ladi:
x o' qiga
|
- — dxdydz dx
|
У o'qiga
|
- — dxdydz dy
|
z o'qiga
|
-p dxdydz
|
Dinamikaning asosiy prinstipiga binoan, harakatdagi elementar suyuqlik hajmiga ta’sir etuvchi hamma kuchlar proekstiyalarining yig'indisi suyuqlik massasini uning tezlanishi ko'paytmasiga teng.
Parallelepiped hajmidagi suyuqlik massasi:
dm — pdxdydz
Agar, elementar zarracha tezligi w, uning tezlanishi dw/dz bo'lsa, tezlanishning koordinatlar o'qidagi proekstiyalari quyidagicha bo'ladi:
dwx dwy dwz
dz ’ dz ’ dz
bu erda wx, wy, wz - x, y, z o'qlardagi tezliklar.
Koordinata o'qlariga nisbatan tezlanishning proekstiyalari dwx / dz, dwy / dz va dwz / dz
bo'ladi.
Suyuqlik oqimi turg'un harakat qilayotgani sababli dwx / dz,— 0 ; dw /dz — 0; dwz /dz - 0.
Bunda, tezlikning vaqt o'tishi bilan o'zgarishi, fazoda olingan nuqta tezligining o'zgarishini emas, balki suyuqlik elementar zarrachasining fazoda bir nuqtadan ikkinchisiga o'tganda x, u va z o'qlarga mos keladigan tezlik miqdori Wx, Wy va Wz laming o'zgarishini ko'rsatadi. Dinamikaning asosiy prinstipiga binoan:
. s s dwx dp
pdxdydz — dxdydz
dz dx
, , , dw др . . ,
pdxdydz — dxdydz
dz dy
, , , dwz < , др V , ,
pdxdydz —- — -I pg + — \dxdydz
dz V dz )
Qisqartirishlardan so'ng esa, ushbu tenglamalar sistemasini olamiz:
;p" -SdP
dz dx
dWy др
p—- — —— r
dz dy
(9)
dwz
p-г- — -pg -
dz
dP
dz J
Bu tenglamalar sistemasi turg'un oqimlar uchun ideal suyuqliklar harakatini ifodalovchi Eylerning
differenstial tenglamasi.
Haqiqiy suyuqlik oqimi uchun Bernulli tenglamasi
Turg'un oqimlar uchun Eylerning differenstial tenglamalar sistemasini echish gidrodinamikada katta ahamiyatga ega va juda ko'p ishlatiladigan Bernulli tenglamasini olish imkonini beradi.
Agar, (9) tenglamalar sistemasining chap va o'ng tomonlarini dx, dy, dz larga ko'paytirib va suyuqlik zichligi p ga bo'lsak, ushbu ifodalarni olamiz:
dx , d-x dr
dy j
— ■ dWy dr
dz , d-z dr
1 dp ,
— dx
p dx
1 dp ,
— дТ’ dy
P dy
. 1 dp
-adz dz
p dz
(10)
(10) tenglamalar sistemasidagi dx/dr, dy/dr va dz/dr nisbatlar tegishli koordinata o'qlaridagi Wx, Wy va Wz tezliklarning o'zgarishini ifodalaydi. Ushbu nisbatlarni tezlik orqali ifodalab, o'z o'rniga qo'ysak:
wxdwx + wydwy + wzdwz = - gdz - — f |P dx + dp dy + dp dz
p\8x dy dz J
Tenglamaning chap tomonidagi qo'shiluvchilar quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin:
-xd-x
Ularning yig'indisi esa,
2
d-x | + d + d — | = d ’
2
к2
22
-^
2
( 2 к
W
WzdWz = d - .
к 2 J
2 Л +-z
bu erda - = |-1 - tezlik vektorining kattaligi bo'lib, Wx, Wy va wz o'qlari uchun o'z qiymatiga ega.
Tenglamaning o'ng tomonidagi ifoda bosimning to'la differenstiali dr ga teng. Turg'un oqimlar uchun bosim fazodagi nuqta holatiga bog'liq bo'lib, istalgan nuqta uchun vaqt birligida o'zgarmaydi.
Demak,
-2 к
dp j
gdz
P
Ushbu tenglamaning ikkala tomonini erkin tushish tezlanishi g ga bo'lsak va hamma ifodalarni chap tomonga o'tkazsak, quyidagi ko'rinishga ega bo'lamiz:
+ ^P + dz = 0
pg
(11)
Bir jinsli, siqilmaydigan suyuqliklar uchun p=const.
Tenglamadagi differenstiallar yig'indisini yig'indilar differenstiali bilan almashtirilishi mumkin, ya’ni:
d (z+-pg+-J=0
bu erda
p -2
z +—i 1 = const
P’ g 2 g
(12)
= d к
2 к
2 J
f -2 к
2
к J
-yd-y = d f Y) к 2 J
z z
f -2
d
к
d ■
2 J
(I)
к 2g J
к
J
Ushbu ko'rinishdagi ifoda ideal suyuqliklar uchun Bernulli tenglamasi deyiladi. z + -P -I kattalikka to'liq gidrodinamik napor yoki gidrodinamik napor deb nomlanadi.
< Pg 2gJ
Bernulli tenglamasiga binoan, ideal suyuqliklarning turg'un harakatida geometrik, statik va dinamik naporlar yig'indisi umumiy gidrodinamik naporga teng bo'lib, oqim bir trubadan ikkinchisiga o'tganda ham o'zgarmaydi.
(13)
P1 w2 p2 w22
Z1 + pg + 2 g~Z 2 + pg + 2 g
Bernulli tenglamasi energiya saqlanish qonunining xususiy holi bo'lib, oqimning energetik
balansini xarakterlaydi. z - nivelir balandlik yoki geometrik napor (hg, m) deb ataladi va nuqta holatining
solishtirma potenstial energiyasini ifodalaydi.-P - bosim napori yoki pezometrik napor (hc, m) deb
Pg
nomlanadi va bosimning solishtirma potenstial energiyasini ifodalaydi.
( P ^
z yig' indi to' liq gidrostatik yoki statik napor (hst, m) deyiladi va ushbu nuqtadagi to' liq
solishtirma potenstial energiyani ifodalaydi.
w2
tezlik yoki dinamik napor (hd, m) deb nomlanadi va u ushbu nuqtadagi solishtirma kinetik
2 g
energiyani xarakterlaydi.
2
(51
Demak, turg'un xarakterdagi suyuqlik uchun potenstial
va kinetik
energiyalar
z +№
к Pg J
yig'indisi oqimning istalgan ko'ndalang kesimida o'zgarmas qiymatga ega.
Ma’lumki, haqiqiy (real) suyuqliklarda ichki ishqalanish kuchlari mavjud bo'lib, ular truba yoki
kanallarda harakat qilganda, bir qism napor bu kuchni engishga sarf etiladi.
Haqiqiy suyuqliklar uchun Bernulli tenglamasi ushbu ko'rinishda yoziladi:
p1 wi P2 w22
Z1 - - — - Z 2 - ' ' hu
Pg 2g Pg 2g
(14)
yoki
hr - hc - hg - hu - Н
bu erda hi - ishqalanish kuchini engish uchun sarflangan napor.
Agar, suyuqlik gorizontal trubada harakat qilayotgan bo'lsa, unda geometrik napor nolga teng bo'ladi, ya’ni hg=0. Unda
hc + hd + hu = Н (15)
Shunday qilib, Bernulli tenglamasi energiya saqlanish qonunining xususiy holi bo'lib, oqimning energetik balansini ifodalaydi.
4. Suyuqlik harakatining Nave-Stoks differenstial tenglamasi
Suyuqlik oqimi harakatining Nave-Stoks differenstial tenglamasi 1845 yili keltirib chiqarilgan.
Bu tenglamani keltirib chiqarish uchun quyidagi tahminlar qabul qilinadi: suyuqlik siqilmaydi va kengaymaydi.
Qovushoq, haqiqiy (haqiqiy) suyuqliklar harakatida oqim zarrachalariga og'irlik va gidrostatik kuchlardan tashqari, ishqalanish kuchlar ta’sirini topish uchun harakatdagi haqiqiy suyuqlik oqimida cheksiz kichik parallelepiped shaklidagi elementar zarracha ajratib olamiz (2.7-rasm). Ishqalanish kuchlari parallelepipedning ustki va pastki tomonlari dF = dx-dy yuzalariga urinma bo'ylab, ta’sir etmoqda.
Agar parallelepiped pastki tomonida urinma bo'ylab kuchlanish т bo'lsa, ustki tomonida esa:
3-rasm. Nave-Stoks tenglamasini
keltirib chiqarishga oid.
, dz л
т + dz
dz
bu erda — dz parallelepiped z o' qidagi pastki tomon dz
urinma kuchlanishining o'zgarishini ifodalaydi.
x o'qiga ta’sir etuvchi ishqalanish
kuchlarining proekstiyasi quyidagiga teng bo'ladi:
I _ , дт . ) dz
zdxdy -1 т ч dz \dxdy = dxdydz
< dz ) dz
Ushbu tenglamaga urinma kuchlanishi
dwx
т = id ni qo'ysak, quyidagicha ko'rinishga ega bo'lamiz:
dz
/ dwx ^
d| —x I 7
I dz ) d w
p— - dxdydz = ц——
dz dz1
dxdydz
Umumiy holatda, agar uch o'lchovli oqim Wx tezligining tashkil etuvchisi faqat z o'qi yo'nalishida emas, balki koordinataning hamma uch o'qi yo'nalishida o'zgaradi. Unda x o'qiga bir xil ta’sir etuvchi ishqalanish kuchlarining proekstiyasi ushbu ko'rinishda bo'ladi:
d2 wx
dx2
2
d wy d2 wz
+ dy2 + dz2 ?
dxdydz
Koordinata o'qlari bo'ylab ikkinchi hosilalar yig'indisi Laplas operatori deb nomlanadi:
d2 wx
dw2
d 2 wy d2 wz
+ + -
dy dz
= V2 wx x
(16)
I
d
V
Cheksiz kichik elementar parallelepiped shakldagi zarrachaga ta’sir etuvchi og'irlik, gidrostatik va ishqalanish kuchlari proekstiyalarining yig'indisi dinamikaning asosiy prinstipiga binoan quyidagiga teng:
dw
P' -
dz
dwy
pn
dw
IP + dV2 Wx
dx
dp 2
— + pV w
d^ y
pWL = -pg -dp + dV 2 Wz
dz dz
>
(17)
(17) tenglamalar sistemasida pg -og'irlik kuchi, dp I dx, dp I dy, dp I dz - gidrostatik bosim o'zgarishi Laplas operatorini d ga ko'paytmasi - ishqalanish kuchlarining suyuqlik oqimiga ta’sirini xarakterlaydi. Tenglamalar sistemasining chap tomonlari inerstiya kuchlarining ta’sirini ifodalaydi.
Keltirib chiqarilgan 17) tenglamalar sistemasi trubada oqayotgan haqiqiy suyuqlik oqimining turg'un harakatini ifodalovchi Eyler differenstial tenglamasi deyiladi.
(17) dagi d = 0 bo'lganda, ideal suyuqlik oqimlarining turg'un harakatini ifodalovchi Eylerning differenstiial tenglamasini olish mumkin.
Haqiqiy suyuqlik harakatini to'la ifodalash uchun tenglamalar sistemasini keltirib chiqarishda suyuqlikning siqiluvchanligi va temperatura ta’sirida kengayishini, hamda oqimning uzluksizligini hisobga olish zarur.
Lekin, matematik ifoda murakkabligi uchun umumiy ko'rinishdagi Nave-Stoks differenstial tenglamalar sistemasini echish qiyin. Shuning uchun ushbu tenglamalar sistemasi ayrim xususiy hollar uchungina echilgan. Buning uchun, bu differenstial tenglamalardan o'xshashlik nazariyasi asosida bir qator o'xshashlik kriteriylari keltirib chiqariladi. Olingan kriteriylar jarayonlarni hisoblashda ishlatiladi.
Bernulli tenglamasining amaliy qo'llanilishi
Kimyo va oziq-ovqat sanoatlarida suyuqliklar tezligi, sarfi va teshiklardan oqib chiqishini aniqlashda Bernulli tenglamasidan keng ko'lamda foydalaniladi.
|
