Mavzu: tasodifiy jarayonlar va ularni asosiy statistik xarakteristikalari

Boshqarish tizimlarining xususiyatlarini tadqiq etayotganda, olimlar ko‘pincha, tizimdagi turli tasodifiy jarayonlar o‘rtasidagi bog‘lanishni izlaydilar. Xt va Yt tasodifiy jarayonlar orasidagi ehtimoliy bog‘lanish ularning o‘zaro korrelyatsion funksiyasi bo‘yicha baholanadi. Ikkita tasodifiy jarayon X t va Yt ning o‘zaro korrelyatsiyali funksiyasi   1 2 K t ,t xy yuqorida ta’riflangan korrelyatsiya (avtokorrelyatsiya)li funksiyaning aynan o‘zi bo‘lib, ikkala jarayon uchun bunday yoziladi: Xt Xt m t   x o va Yt Yt m t   y o , yani                 , ; ,  . , 1 1 2 2 2 1 2 2 o 1 o 1 2 x t m t y t m t W x y t t dxdy K t t M X t X t x y xy                  O‘zaro korrelyatsiyali funksiyalar simmetrik emas:  ,   , . 1 2 1 2 K t t K t t xy  yx Biroq, quyidagi tenglik o‘rinli:  ,   , .

• Boshqarish tizimlarining xususiyatlarini tadqiq etayotganda, olimlar ko‘pincha, tizimdagi turli tasodifiy jarayonlar o‘rtasidagi bog‘lanishni izlaydilar. Xt va Yt tasodifiy jarayonlar orasidagi ehtimoliy bog‘lanish ularning o‘zaro korrelyatsion funksiyasi bo‘yicha baholanadi. Ikkita tasodifiy jarayon X t va Yt ning o‘zaro korrelyatsiyali funksiyasi   1 2 K t ,t xy yuqorida ta’riflangan korrelyatsiya (avtokorrelyatsiya)li funksiyaning aynan o‘zi bo‘lib, ikkala jarayon uchun bunday yoziladi: Xt Xt m t   x o va Yt Yt m t   y o , yani                 , ; ,  . , 1 1 2 2 2 1 2 2 o 1 o 1 2 x t m t y t m t W x y t t dxdy K t t M X t X t x y xy                  O‘zaro korrelyatsiyali funksiyalar simmetrik emas:  ,   , . 1 2 1 2 K t t K t t xy  yx Biroq, quyidagi tenglik o‘rinli:  ,   , .

3. Statsionar tasodifiy jarayonlar Boshqarish tizimlarida kechadigan tasodifiy hodisalar statsionar va nostatsionar turlarga ajratiladi. Vaqtga bog‘liq holda kechsa, nostatsionar, bog‘liq bo‘lmasa, statsionar deyiladi. Amalda nostatsionar tasodifiy jarayonlar ko‘p uchraydi, ularning matematik apparat yordamida tadqiq etib, parametrlarining analitik ifodasini keltirib chiqarish juda qiyinlashib ketadi va har bir son uchun alohida-alohida ifodalar topish lozim bo‘ladi. Shu sabablarga ko‘ra, tasodifiy jarayon statsionar deya faraz etiladi. Tasodifiy jarayon Xt ni statsionar, deb atash uchun uning ehtimollik tavsiflari vaqtga bog‘liq bo‘lmasligi kerak, ya’ni Xt   tasodifiy jarayonning tavsiflari istalgan  da X t jarayonning tavsiflari bilan mos tushishi lozim. Statsionarlik tor va keng ma’nolarga ega. Agar tasodifiy jarayon X t ning n o‘lchamli taqsimot funksiya va istalgan n dagi ehtimolliklar zichligi n t ,t ,...,t 1 2 qatorning har bir oni uchun vaqtning surilishi  ga bog‘liq bo‘lmasa, tor ma’noda statsionar va qat’iy statsionar deyiladi, ya’ni:  , ,..., ; , ,...,   , ,..., ; , ,..., , 1 2 1 2 1 2 1 2     n n n n n n F x x x t t t F x x x t t t  , ,..., ; , ,...,   , ,..., ; , ,..., , 1,2,... W n x1 x2 x n t 1 t 2 t n W n x1 x2 x n t 1  t 2  t n  n  Keltirilgan ta’rifdan statsionar tasodifiy jarayonning hamma ehtimollik tavsiflari vaqtga nisbatan invariantligi ko‘rinadi. Bu tavsiflar, shuningdek, vaqt bo‘yicha hisob boshiga ham bog‘liq bo‘lmaydi.

• 3. Statsionar tasodifiy jarayonlar Boshqarish tizimlarida kechadigan tasodifiy hodisalar statsionar va nostatsionar turlarga ajratiladi. Vaqtga bog‘liq holda kechsa, nostatsionar, bog‘liq bo‘lmasa, statsionar deyiladi. Amalda nostatsionar tasodifiy jarayonlar ko‘p uchraydi, ularning matematik apparat yordamida tadqiq etib, parametrlarining analitik ifodasini keltirib chiqarish juda qiyinlashib ketadi va har bir son uchun alohida-alohida ifodalar topish lozim bo‘ladi. Shu sabablarga ko‘ra, tasodifiy jarayon statsionar deya faraz etiladi. Tasodifiy jarayon Xt ni statsionar, deb atash uchun uning ehtimollik tavsiflari vaqtga bog‘liq bo‘lmasligi kerak, ya’ni Xt   tasodifiy jarayonning tavsiflari istalgan  da X t jarayonning tavsiflari bilan mos tushishi lozim. Statsionarlik tor va keng ma’nolarga ega. Agar tasodifiy jarayon X t ning n o‘lchamli taqsimot funksiya va istalgan n dagi ehtimolliklar zichligi n t ,t ,...,t 1 2 qatorning har bir oni uchun vaqtning surilishi  ga bog‘liq bo‘lmasa, tor ma’noda statsionar va qat’iy statsionar deyiladi, ya’ni:  , ,..., ; , ,...,   , ,..., ; , ,..., , 1 2 1 2 1 2 1 2     n n n n n n F x x x t t t F x x x t t t  , ,..., ; , ,...,   , ,..., ; , ,..., , 1,2,... W n x1 x2 x n t 1 t 2 t n W n x1 x2 x n t 1  t 2  t n  n  Keltirilgan ta’rifdan statsionar tasodifiy jarayonning hamma ehtimollik tavsiflari vaqtga nisbatan invariantligi ko‘rinadi. Bu tavsiflar, shuningdek, vaqt bo‘yicha hisob boshiga ham bog‘liq bo‘lmaydi.