Mavzu: tasodifiy jarayonlar va ularni asosiy statistik xarakteristikalari

2. Tasodifiy jarayon va uning asosiy tavsiflari Boshqarish tizimini tasodifiy ta’sirlar bo‘ladigan holatlar uchun hisoblaganda tasodifiy funksiyalar nazariyasi deb atalgan matematik apparatdan foydalaniladi. Tasodifiy funksiya, tasodifiy kattalik singari, sinovning oxiri –  deb atalagan elementar hodisaga bog‘liq holda, turli qiymatlar qabul qiladi. Bundan tashqari, tasodifiy funksiya tasodifiy bo‘lmagan qandaydir  parametrga ham bog‘liq bo‘ladi, ya’ni X ,

• 2. Tasodifiy jarayon va uning asosiy tavsiflari Boshqarish tizimini tasodifiy ta’sirlar bo‘ladigan holatlar uchun hisoblaganda tasodifiy funksiyalar nazariyasi deb atalgan matematik apparatdan foydalaniladi. Tasodifiy funksiya, tasodifiy kattalik singari, sinovning oxiri –  deb atalagan elementar hodisaga bog‘liq holda, turli qiymatlar qabul qiladi. Bundan tashqari, tasodifiy funksiya tasodifiy bo‘lmagan qandaydir  parametrga ham bog‘liq bo‘ladi, ya’ni X ,

Agar  parametri o‘rnida vaqt – t ishlatilsa, tasodifiy funksiya – Xt, tasodifiy jarayon deb ataladi. Elementar hodisa  0 qayd etilganda t argumentning muntazam (tasodifiy bo‘lmagan, ya’ni determinirlangan) funksiyasi – xt hosil bo‘ladi. Qayd etilgan  da tasodifiy jarayonning muayyan ko‘rinishi – tasodifiy jarayonning amalga oshishi (to‘g‘rirog‘i, kechishi) deb ataladi. Hamma “kechish”larning yig‘indisi tasodifiy jarayonlarning ansambli, deyiladi. 11.2-rasmda Xt, tasodifiy jarayonning mustaqil , ,..., ,.... 1 2  n hodisalarda amalga oshishi (kechishi) ko‘rsatilgan. Masalan, “amalga oshish” deganda, uchayotgan samolyotning tezligini bir xil ushlab turishga qaratilgan choralar ko‘rilsa ham, har safar uchganda tezlikning vaqtga bog‘liq holda o‘zgarishlarini tushunish mumkin. Tasodifiy jarayonlarni tadqiq etishning ehtimollik nazariyasiga asoslangan usuli ansabilga kirgan har bir “kechinma” (amalga oshish) x (t) i ni emas, balki jami “kechinma”larni o‘z ichiga olgan to‘plamning xususiyatlarini o‘rganadi. Bunda xar bir “kechinma” ning xususiyatlaridan o‘rtacha qiymat chiqariladi. Ko‘rsatkich k t  t qayd etilganda tasodifiy jarayonning “kesimi” hosil bo‘ladi. U elementar hodisaga –  ga bog‘liq bo‘ladi va demak, tasodifiy kattalik – X bo‘lib qoladi. Agar tasodifiy jarayonning n -ta kesimi  ,,  ,,...,  , 1 2 n X t X t X t ko‘rilayotgan bo‘lsa, tasodifiy jarayon – Xt, ga tegishli n -o‘lchamli tasodifiy kattalik hosil bo‘ladi. Odatda, qisqaroq yozish maqsadida argument –  tushirib qoldiriladi. Tasodifiy jarayon – X t ni vaqtga bog‘liq holda o‘zgaradigan, ehtimolliklarining qiymati ko‘p o‘lchamli ( n -o‘lchamli) funksiya bo‘yicha taqsimlanadigan (interval taqsimot qonuni) tasodifiy kattalik sifatida ko‘rish mumkin F n x1 , x2 ,...,x n ;t 1 ,t 2 ,...,t n   PX t 1   x1 ; X t 2   x2 ;...;X t n   x n ; yoki ehtimolliklari ko‘p o‘lchamli zichlik bilan taqsimlangan (differensial taqsimot qonuni) tasodifiy kattalik sifatida ham ko‘rish mumkin:     n n n n n n n n x x x F x x x t t t W x x x t t t      ... , ,..., ; , ,..., , ,..., ; , ,...

• Agar  parametri o‘rnida vaqt – t ishlatilsa, tasodifiy funksiya – Xt, tasodifiy jarayon deb ataladi. Elementar hodisa  0 qayd etilganda t argumentning muntazam (tasodifiy bo‘lmagan, ya’ni determinirlangan) funksiyasi – xt hosil bo‘ladi. Qayd etilgan  da tasodifiy jarayonning muayyan ko‘rinishi – tasodifiy jarayonning amalga oshishi (to‘g‘rirog‘i, kechishi) deb ataladi. Hamma “kechish”larning yig‘indisi tasodifiy jarayonlarning ansambli, deyiladi. 11.2-rasmda Xt, tasodifiy jarayonning mustaqil , ,..., ,.... 1 2  n hodisalarda amalga oshishi (kechishi) ko‘rsatilgan. Masalan, “amalga oshish” deganda, uchayotgan samolyotning tezligini bir xil ushlab turishga qaratilgan choralar ko‘rilsa ham, har safar uchganda tezlikning vaqtga bog‘liq holda o‘zgarishlarini tushunish mumkin. Tasodifiy jarayonlarni tadqiq etishning ehtimollik nazariyasiga asoslangan usuli ansabilga kirgan har bir “kechinma” (amalga oshish) x (t) i ni emas, balki jami “kechinma”larni o‘z ichiga olgan to‘plamning xususiyatlarini o‘rganadi. Bunda xar bir “kechinma” ning xususiyatlaridan o‘rtacha qiymat chiqariladi. Ko‘rsatkich k t  t qayd etilganda tasodifiy jarayonning “kesimi” hosil bo‘ladi. U elementar hodisaga –  ga bog‘liq bo‘ladi va demak, tasodifiy kattalik – X bo‘lib qoladi. Agar tasodifiy jarayonning n -ta kesimi  ,,  ,,...,  , 1 2 n X t X t X t ko‘rilayotgan bo‘lsa, tasodifiy jarayon – Xt, ga tegishli n -o‘lchamli tasodifiy kattalik hosil bo‘ladi. Odatda, qisqaroq yozish maqsadida argument –  tushirib qoldiriladi. Tasodifiy jarayon – X t ni vaqtga bog‘liq holda o‘zgaradigan, ehtimolliklarining qiymati ko‘p o‘lchamli ( n -o‘lchamli) funksiya bo‘yicha taqsimlanadigan (interval taqsimot qonuni) tasodifiy kattalik sifatida ko‘rish mumkin F n x1 , x2 ,...,x n ;t 1 ,t 2 ,...,t n   PX t 1   x1 ; X t 2   x2 ;...;X t n   x n ; yoki ehtimolliklari ko‘p o‘lchamli zichlik bilan taqsimlangan (differensial taqsimot qonuni) tasodifiy kattalik sifatida ham ko‘rish mumkin:     n n n n n n n n x x x F x x x t t t W x x x t t t      ... , ,..., ; , ,..., , ,..., ; , ,...