|
Kompleks sonning algebraik shakli
|
| bet | 9/13 | | Sana | 18.02.2022 | | Hajmi | 0.64 Mb. | | #17733 |
Bog'liq Kompleks sonlar toʻplami. Kompleks sonni moduli va argumenti. Kompleks sonni algebraik va trigonometrik shakllarda yozilishi Реферат, реферат ИЁД, 4-Глава 2 (2)Kompleks sonning algebraik shakli.
Kompleks sonni shaklda yozish a + bi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi, bu erda a- haqiqiy qism, bi Xayoliy qism va b Haqiqiy raqam.
Kompleks raqam a + bi Agar uning haqiqiy va xayoliy qismlari nolga teng bo'lsa, nolga teng deb hisoblanadi: a = b = 0
Kompleks raqam a + bi da b = 0 haqiqiy son bilan bir xil deb hisoblanadi a: a + 0i = a.
Kompleks raqam a + bi da a = 0 sof xayoliy deyiladi va belgilanadi bi: 0 + bi = bi.
Ikkita murakkab son z = a + bi va = a - bi Xayoliy qismning belgisi bilangina farq qiladiganlar konjugat deyiladi.
Algebraik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.
Algebraik shakldagi kompleks sonlar bo'yicha quyidagilarni qilishingiz mumkin.
1) qo'shimcha.
Ta'rif... Kompleks sonlar yig'indisi z 1 = a 1 + b 1 i va z 2 = a 2 + b 2 i murakkab son deyiladi z, uning haqiqiy qismi haqiqiy qismlar yig'indisiga teng z 1 va z 2, va xayoliy qism sonlarning xayoliy qismlari yig'indisidir z 1 va z 2, ya'ni z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
Raqamlar z 1 va z 2 atamalar deb ataladi.
Kompleks sonlarni qo'shish quyidagi xususiyatlarga ega:
1º. O'zgaruvchanlik: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assotsiativlik: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleks raqam –A –bi kompleks sonning teskarisi deyiladi z = a + bi... Kompleks songa qarama-qarshi joylashgan kompleks son z, belgilangan -z... Kompleks sonlar yig'indisi z va -z nolga teng: z + (-z) = 0
Misol 1. Qo'shishni bajaring (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) ayirish.
Ta'rif. Kompleks sondan ayirish z 1 murakkab son z 2 z, nima z + z 2 = z 1.
Teorema... Kompleks sonlarning farqi mavjud va bundan tashqari, noyobdir.
2-misol. Ayirish amalini bajaring (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) ko'paytirish.
Ta'rif... Kompleks sonlarning mahsuloti z 1 = a 1 + b 1 i va z 2 = a 2 + b 2 i murakkab son deyiladi z tenglik bilan belgilanadi: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.
Raqamlar z 1 va z 2 omillar deyiladi.
Kompleks sonlarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:
1º. O'zgaruvchanlik: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assotsiativlik: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 haqiqiy sondir.
Amalda kompleks sonlarni ko'paytirish yig'indini yig'indiga ko'paytirish va haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.
Quyidagi misolda kompleks sonlarni ikki usulda ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz: qoida bo‘yicha va yig‘indini yig‘indiga ko‘paytirish.
Misol 3. Ko'paytirishni bajaring (2 + 3i) (5 - 7i).
1 yo'l. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) i = 31 + i.
2-usul. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Bo'lim.
Ta'rif... Kompleks sonni ajrating z 1 kompleks sonda z 2, keyin shunday kompleks sonni toping z, nima z z 2 = z 1.
Teorema. Murakkab sonlar bo'limi mavjud va yagona bo'lsa z 2 ≠ 0 + 0i.
Amaliyotda kompleks sonlarning bo‘lagi aylanma va maxrajni maxrajning konjugatiga ko‘paytirish yo‘li bilan topiladi.
Mayli z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, keyin
.
Quyidagi misolda biz formula va ko'paytirish qoidasi bo'yicha maxrajning konjugatiga bo'linadi.
4-misol. Ko‘rsatkichni toping .
5) musbat butun songa ko'tarish.
a) Xayoliy birlikning vakolatlari.
Tenglikdan foydalanish i 2 = -1, xayoliy birlikning istalgan musbat butun kuchini aniqlash oson. Bizda ... bor:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = men 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 va hokazo.
Bu daraja qiymatlari ekanligini ko'rsatadi men n, qayerda n- musbat butun son, vaqti-vaqti bilan indikator ga ortganda takrorlanadi 4 .
Shuning uchun, raqamni oshirish uchun i butun musbat darajaga ko'rsatkichni ga bo'lish kerak 4 va tik i ko'rsatkichi bo'linishning qolgan qismiga teng bo'lgan kuchga.
5-misol. Hisoblang: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.
b) Kompleks sonni musbat butun darajaga ko'tarish binomialni tegishli darajaga ko'tarish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi, chunki u maxsus holat bir xil murakkab omillarni ko'paytirish.
Misol 6. Hisoblang: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
Kompleks sonlar haqida kerakli ma'lumotlarni eslaylik.
Kompleks raqam shaklning ifodasidir a + bi, qayerda a, b haqiqiy sonlar va i- deb atalmish xayoliy birlik, kvadrati -1 bo'lgan belgi, ya'ni i 2 = -1. Raqam a chaqirdi haqiqiy qismi va raqam b - xayoliy qism murakkab son z = a + bi... Agar b= 0, keyin o'rniga a + 0i oddiygina yozing a... Ko'rinib turibdiki, haqiqiy sonlar kompleks sonlarning alohida holatidir.
Kompleks sonlar ustidagi arifmetik amallar haqiqiy sonlar bilan bir xil: ularni bir-biriga qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin. Qo'shish va ayirish qoidaga muvofiq amalga oshiriladi ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, va ko'paytirish - qoida bo'yicha ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (e'lon + mil. avv)i(bu erda faqat shunday ishlatiladi i 2 = –1). Raqam = a – bi chaqirdi murakkab konjugat Kimga z = a + bi... Tenglik z · = a 2 + b 2 bitta kompleks sonni boshqa (noldan farqli) kompleks songa qanday bo'lishni tushunishga imkon beradi:
(Masalan, .)
Murakkab raqamlar qulay va intuitiv geometrik tasvirga ega: raqam z = a + bi koordinatali vektor bilan ifodalanishi mumkin ( a; b) Dekart tekisligida (yoki deyarli bir xil bo'lgan nuqta - bu koordinatalar bilan vektorning oxiri). Bunday holda, ikkita kompleks sonning yig'indisi mos keladigan vektorlarning yig'indisi sifatida tasvirlanadi (uni parallelogramma qoidasi bilan topish mumkin). Pifagor teoremasiga ko'ra, koordinatali vektor uzunligi ( a; b) teng. Bu miqdor deyiladi modul murakkab son z = a + bi va | bilan belgilanadi z|. Ushbu vektorning abscissa o'qining musbat yo'nalishi (soat miliga teskari hisoblangan) bilan hosil qiladigan burchak deyiladi. dalil murakkab son z va Arg bilan belgilanadi z... Argument yagona aniqlangan emas, faqat 2 ga karrali qo'shilishgacha π radian (yoki 360 °, agar siz darajalarda hisoblasangiz) - axir, kelib chiqishi atrofida bunday burchak bilan aylanish vektorni o'zgartirmasligi aniq. Ammo uzunlik vektori bo'lsa r burchak hosil qiladi φ abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan uning koordinatalari ( r Cos φ ; r Gunoh φ ). Shunday qilib, chiqadi trigonometrik belgilar murakkab raqam: z = |z| (Cos (Arg z) + i gunoh (Arg z)). Ko'pincha bu shaklda murakkab raqamlarni yozish qulay, chunki u hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Trigonometrik shaklda murakkab sonlarni ko'paytirish juda oddiy ko'rinadi: z bir · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i gunoh (Arg z 1 + Arg z 2)) (ikkita murakkab sonni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi). Shuning uchun ergashing Moivre formulalari: z n = |z|n(Cos ( n(Arg z)) + i gunoh ( n(Arg z))). Ushbu formulalardan foydalanib, murakkab sonlardan istalgan darajadagi ildizlarni qanday chiqarishni o'rganish oson. Ildiz n z kuchlari shunday murakkab son w, nima w n = z... Bu aniq , qayerda k to'plamdan istalgan qiymatni olishi mumkin (0, 1, ..., n- bitta). Bu har doim aniq borligini anglatadi n ildizlar n-kompleks sonning daraja (tekislikda, ular to'g'rining uchlarida joylashgan n-gon).
TA’RIF
Kompleks sonning algebraik shakli \ (\ z \) kompleks sonini \ (\ z = x + iy \) shaklida yozishdan iborat bo'lib, bu erda \ (\ x \) va \ (\ y \) haqiqiy sonlardir. , \ (\ i \ ) - \ (\ i ^ (2) = - 1 \) munosabatini qanoatlantiruvchi xayoliy birlik.
\ (\ x \) raqami kompleks sonning haqiqiy qismi \ (\ z \) deb ataladi va \ (\ x = \ operator nomi (Re) z \) bilan belgilanadi.
\ (\ y \) soni kompleks sonning xayoliy qismi \ (\ z \) deb ataladi va \ (\ y = \ operator nomi (Im) z \) bilan belgilanadi.
Masalan:
Kompleks son \ (\ z = 3-2 i \) va unga bog'liq raqam \ (\ \ yuqori chiziq (z) = 3 + 2 i \) algebraik shaklda yoziladi.
Xayoliy qiymat \ (\ z = 5 i \) algebraik shaklda yoziladi.
Bundan tashqari, hal qilinayotgan masalaga qarab, siz kompleks sonni trigonometrik yoki eksponensialga aylantirishingiz mumkin.
Vazifa
\ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) sonini algebraik shaklda yozing, uning haqiqiy va xayoliy qismlarini, shuningdek, konjugat sonini toping.
Yechim.
Kasrlarni bo'lish atamasi va kasrlarni qo'shish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) i \)
Shuning uchun \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) kompleks sonning haqiqiy qismi \ (\ x = \ operator nomi (Re) z = \ frac (59) (4) \), xayoliy qism - raqam \ (\ y = \ operator nomi (Im) z = - \ frac (1) (4) \)
Konjugat: \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
Javob
\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \), \ (\ \ operator nomi (Re) z = \ frac (59) (4) \), \ (\ \ operator nomi (Im) z = - \ frac (1) (4) \), \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
Kompleks sonlarning algebraik shakldagi harakatlari taqqoslash
Ikkita kompleks son \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) teng deyiladi, agar \ (\ x_ (1) = x_ (2) \), \ (\ y_ (1)) bo'lsa. y_ (2) \) ya'ni Ularning haqiqiy va xayoliy qismlari tengdir.
Vazifa
Qaysi x va y ikkita kompleks sonlar uchun \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) va \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) teng ekanligini aniqlang.
Yechim
Ta'rifga ko'ra, ikkita murakkab son, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, ya'ni. \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \).
Javob \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \)
qo'shimcha
Kompleks sonlarni qo'shish \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) haqiqiy va xayoliy qismlarni to'g'ridan-to'g'ri yig'ish orqali amalga oshiriladi:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ chap (x_ (1) + x_ (2) \ o'ng) + i \ chap (y_ (1) + y_ (2) \ o'ng) \)
Vazifa
Kompleks sonlar yig'indisini toping \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \), \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)
Yechim.
Kompleks sonning haqiqiy qismi \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) \ (\ x_ (1) = \ operator nomi (Re) z_ (1) = - 7 \), xayoliy sondir. qismi soni \ ( \ y_ (1) = \ mathrm (Im) \), \ (\ z_ (1) = 5 \). Kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) \ (\ x_ (2) = \ operator nomi (Re) z_ (2) = 13 \) va \ () ga teng. \ y_ (2 ) = \ operator nomi (Im) z_ (2) = - 4 \).
Shunday qilib, kompleks sonlar yig'indisi:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ chap (x_ (1) + x_ (2) \ o'ng) + i \ chap (y_ (1) + y_ (2) \ o'ng) = (- 7+) 13) + i (5-4) = 6 + i \)
Javob
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + i \)
Murakkab raqamlarni qo'shish haqida batafsil ma'lumotni alohida maqolada o'qing: Kompleks sonlarni qo'shish.
Ayirish
Kompleks sonlarni ayirish \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) va \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) to'g'ridan-to'g'ri ayirish orqali amalga oshiriladi. Haqiqiy va xayoliy qismlar:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ chap (x_ (2) + i y_ (2) \ o'ng) = x_ (1) -x_ (2) + \ chap (i y_ (1) -i y_ (2) \ o'ng) = \ chap (x_ (1) -x_ (2) \ o'ng) + i \ chap (y_ (1) -y_ (2) \ o'ng) ) \)
Vazifa
kompleks sonlar farqini toping \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)
Yechim.
Kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarini toping \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):
\ (\ x_ (1) = \ operator nomi (Re) z_ (1) = 17, x_ (2) = \ operator nomi (Re) z_ (2) = 15 \)
\ (\ y_ (1) = \ operator nomi (Im) z_ (1) = - 35, y_ (2) = \ operator nomi (Im) z_ (2) = 5 \)
Shunday qilib, kompleks sonlar orasidagi farq:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ chap (x_ (1) -x_ (2) \ o'ng) + i \ chap (y_ (1) -y_ (2) \ o'ng) = (17-15) ) + i (-35-5) = 2-40 i \)
Javob
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) ko'paytirish
Kompleks sonlarni ko'paytirish \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) va \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) to'g'ridan-to'g'ri yaratish orqali amalga oshiriladi. xayoliy birlikning xususiyatini hisobga olgan holda algebraik shakldagi raqamlar \ (\ i ^ (2) = - 1 \):
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ chap (x_ (1) + i y_ (1) \ o'ng) \ cdot \ chap (x_ (2) + i y_ (2) \ o'ng) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ chap (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ o'ng) = \)
\ (\ = \ chap (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ o'ng) + i \ chap (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) ) \ cdot y_ (1) \ o'ng) \)
Vazifa
Kompleks sonlar koʻpaytmasini toping \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)
Yechim.
Kompleks sonlar majmuasi:
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ chap (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ o'ng) + i \ chap (x_ (1)) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ o'ng) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 i \)
Javob
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) bo'linish
Kompleks sonlarning koeffitsienti \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) va \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) ko'paytirish yo'li bilan aniqlanadi. maxrajli qo‘shma songa aylanuvchi va maxraj:
\ (\ \ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frak (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frak (\ chap (x_ (1) + i y_ (1) \ o'ng) \ chap (x_ (2) -i y_ (2) \ o'ng)) (\ chap (x_ (2) + i y_ (2) \ o'ng) \ chap (x_ (2) -i y_ (2) \ o'ng)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ) ^ (2)) \)
Vazifa
1 raqamini kompleks songa bo'lish uchun \ (\ z = 1 + 2 i \).
Yechim.
Xayoliy qismdan boshlab haqiqiy raqam 1 nolga teng, omil:
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frak (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
Javob
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing.
Keling, uning ildizlarini aniqlaylik.
Kvadrati -1 bo'lgan haqiqiy son yo'q. Ammo operatorni aniqlasak i xayoliy birlik sifatida, u holda bu tenglamaning yechimi shaklida yozilishi mumkin ... Qayerda va - kompleks sonlar, bunda -1 haqiqiy qism, 2 yoki ikkinchi holatda -2 xayoliy qismdir. Xayoliy qism ham haqiqiy (haqiqiy) sondir. Xayoliy qismning xayoliy birlikka ko'paytirilishi allaqachon degan ma'noni anglatadi xayoliy raqam.
Umuman olganda, kompleks son shaklga ega
z = x + iy ,
qayerda x, y- haqiqiy sonlar, - xayoliy birlik. Bir qator amaliy fanlarda, masalan, elektrotexnika, elektronika, signallar nazariyasida xayoliy birlik quyidagicha belgilanadi. j... Haqiqiy raqamlar x = Re (z) va y =men (z) deyiladi haqiqiy va xayoliy qismlar raqamlar z. ifoda deyiladi algebraik shakl kompleks sonning yozuvi.
Har qanday haqiqiy son shakldagi kompleks sonning maxsus holatidir ... Xayoliy son ham murakkab sonning alohida holidir. .
Kompleks sonlar to'plamining ta'rifi C
Bu ibora quyidagicha o'qiladi: o'rnatish BILAN shunday elementlardan iborat x va y haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishli R va xayoliy birlikdir. E'tibor bering, va hokazo.
Ikkita murakkab son va ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lgan taqdirdagina teng bo'ladi, ya'ni. va .
Kompleks sonlar va funksiyalar fan va texnikada, xususan, mexanikada, oʻzgaruvchan tok zanjirlarini tahlil qilish va hisoblashda, analog elektronikada, signallar nazariyasi va qayta ishlashda, avtomatik boshqarish nazariyasida va boshqa amaliy fanlarda keng qoʻllaniladi.
|
| |
