o‘rinishga keltirilsin, bunda
k = ^ ~ ^ - .
energiyaning qiymati uchun energetik spektming
8
ma~
diskretligi asoslab berilsin.
Yechish. Ikkala soha uchun
Shredinger tenglamasining
ko‘rinishi quyidagicha
0
jfl = 0, bu yerda k2
dx~
ft
x>ct,
=0, bu yerda jи2= ~ (и й
-Е).
dx'
■
nr
Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi bu tenglamalarning
yechimlari quyidagicha boiadi:
t//,(x)= /I sin fa agarda 0
V2(x) = Be'v’: agarda x > a .
x = a
nuqtadagi toiqin funksiyasi va uning birinchi tartibli
hosilasi uzluksizligidan
A
sin
kx = Be'111
va Ak
cos fcc
= -Вцё~>"
tengliklar kelib chiqadi. Ushbu tengliklardan quyidagi olinadi:
ctgka = —~
yoki sin Ah = + - f a 7 .
к
a y 2mU0
M A R K A ZIY SIM M ET RIK M AYDON DAGI HARAKAT
V bob
5.1. Shredinger tenglamasining radial qismi
Markaziy kuch maydonidagi zarrachaning harakatini o‘rganish
potensial o'radagi zarrachaning
harakati, garmonik ossilyator masalasi
kabi kvant mexanikasining fundamental masalalarini tashkil etadi.
Markaziy kuch maydonida harakatlanayotgan zarrachaning
potensial
energiyasi faqat masofaning funksiyasi
U = V (r )
(5.1)
bo‘lib, markaziy simmetrik maydon hosil qiladi. U(r) potensial
energiyali simmetrik maydondagi harakatlanuvchi zarrachaning
statsionar holatlari uchun Shredinger tenglamasi
& W + ^ - [ E - U ( v ) ] V = 0
( 5 2 )
ko‘rinishga ega, bunda A = V2- Laplas operatori. Tenglamadan ko'rinib
turibdiki,
Laplas operatori va ty funksiya
x,
y, z
koordinatalariga
bogiiq, ammo potensial energiya U(r) Dekart koordinatalari
x,
y, z
ning
emas, balki r masofaning funksiyasidir. Potensial energiyaning (5.1)
ko‘rinishdagi
markaziy simmetrik holi
uchun г,
в,
sferik koordinatalarga
o‘tish,
Laplas
operatorini
sferik
koordinatalar orqali ifodalash (5.2)
tenglamani yechishni osonlashtiradi. 13-
rasmda sferik va Dekart koordinatalar
sistemalarining bogianishi tasvirlangan.
Ushbu rasmda
V
'f
">
->
X +y~ +z~
boiib, r - koordinata boshidan
kuzatilayotgan nuqtagacha o‘tkazilgan
radius vektoming uzunligi,
a
z
в = arccos —= = = = =
4 x 2+ y 2 + z 2
13-rasm. Dekart va sferik
koordinatalar orasidagi
bogianish.
142
в - radius vektor
r bilan z o‘qi tashkil qilgan burchagi va
v
arctg —
x
bo‘lib,
r radius-vektoming
(x,y) tekisligiga proyeksiyasini
x o‘qi bilan
tashkil qilgan burchagini ifoda qiladi.
Shredingerning (5.2) tenglamasini sferik
koordinatalarda yozish
uchun Laplas operatorining sferik koordinatalardagi ifodasi, ya’ni (2.74)
va (2.96) ifodalardan foydalaniladi va quyidagi tenglama hosil qilinadi:
1 ЭЛгЭуЛ
1
Э
s m e ^
