Е = ~~~
(РI + Р 2
у +Р2
г) + и (х, У,
г)
2 т
ko'rinishda bo‘ladi. Ushbu ifodada umumiy sxema bo‘yicha (4.70) va
(4.71) formulalardan
foydalangan holda va
у
funksiyaga
operatorlarning ta’sirini
hisobga olib, izlayotgan tenglamani hosil
qilamiz, ya’ni:
Endi yuqoridagi ikki tenglama orasidagi bogianishni, ya’ni
h
0 da
Shredinger tenglamasi Gamilton-Yakobi tenglamasiga o‘tishini ko‘rib
chiqaylik. Agar Shredinger tenglamasiga to‘g‘ridan-to‘g‘ri
h = 0
qo‘yilsa, u holda bu tenglama hech qanday ma’noga ega bo‘lmay
qoladi. Shuning uchun (4.72) tenglamada й->0 limitga o‘tiladi va
Shredinger tenglamasining yechimi
funksiya
ta’sir o‘lchamiga ega bo‘lib, Gamilton-Yakobi klassik
tenglamasining yechimi bilan bogiiqligini ko‘rsatadi.
A=const
bo‘lganida hosilalami osongina hisoblash mumkin:
Huddi
shunday у va z koordinatalari
bo‘yicha ham o‘xshash
ifodalarni olish mumkin. Olingan ifodalami (4.72) tenglamaga qo‘yiladi
ft dft _ fl1 ( d2p d2ft (
/
dt
2
m (
dx
2
dy
2
(4.72)
(4.73)
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda
S = S(x,y,z, t)
(4.74)
va Лехр^Д
jg a
qisqartirib, quyidagi tenglama hosil qilinadi:
133
^- + — (gradS)2+U + — A5 = 0
(4.75)
Э/
2m
2m
Klassik mexanikaga mos kelishi uchun й-H>0bo‘lishi kerak, buning
uchun (4.75) tenglamada
b = 0
deb olinadi va
35
1 ,
„ n
(4-76)
— + —
{gradS)+U= 0
'
’
dt 2m
tenglamaga kelinadi. Bitta x koordinata uchun
“ +_ L f a s j +c, = „
(4'77)
Э
t
2
m dx ^
tenglama hosil qilinadi. Shunday qilib,
h -> 0 da klassik mexanikadagi
(4.76) yoki xususiy holda (4.77) Gamilton-Yakobi
tenglamasini hosil
qildik.
4.6. Kvaziklassik yaqinlashish
Avvalgi paragrafda
/? —> 0 da Shredinger tenglamasi Gamilton -
Yakobi tenglamasiga uzluksiz ravishda o‘tishi ko‘rsatildi.
Ikkinchi
tomondan Bor kvantlash shartiga asosan
J
pdq =
rih
boiadi va Bor atomining statsionar orbitalari de-Broyl toiqinlarining
ti
Я = — butun sonlari mos keluvchi orbitalar hisoblanadi.
P
Yuqorida keltirilgan faktlarga asoslangan holda ketma-ket
yaqinlashish usuli yordamida Shredinger tenglamasidan Bor nazariyasi
orqali klassik mexanikaga o‘tish mumkin. Ayniqsa bu o‘tish bir
oichamli harakat misolida quyida keltirilgan Vensel-Kramers-Brillyuen
(yoki qisqacha VKB) yaqinlashish metodi
yordamida kvaziklassik
yaqinlashish deb nomlangan yaqinlashishda yaqqol lco‘rinadi.
Bir oichamli Shredinger tenglamasi
4 ”-(£-<,*, =0
