d8
r1 dry dr J r1 sin0 90
(2.74), (2.75) va (2.97) ifodalardan foydalanib
и. _ Д _ ^ +^ Г £ _^(г)Ъ = 0
r" sin 0 Э qr ft *-
2
H = T r + ^ - j+ U ( r )
(5.3)
2 mr
tenglik hosil qilinadi. Demak, markaziy maydondagi statsionar holatlar
uchun Shredinger tenglamasi
A
2
Tr\i/ + -P~T y/ + U(r)y/ = Exi/
(5.4)
2mr
ko‘rinishga ega ekan.
Bu tenglamadagi у/ to‘lqin funksiyasini r,
e,
koordinatalar funksiyasi sifatida izlash tabiiy dir. (5.4) tenglamaning r,
в,
0 <9 va 0 <
¥
A
2
yechimlami topish lozim. H va M
operatorlar kommutativ
bo‘lganligi sababli, ular umumiy xususiy funksiyalarga ega bo‘lishlari
kerak, shu tufayli ty
to‘lqin funksiyasi uchun ikkinchi tenglama
quyidagicha boiadi:
(5.5)
Ushbu tenglamadagi M 2 ning xususiy qiymatlari
+1) ga teng
bo‘ladi va (5.4) tenglamada M fy o‘miga Й2/(/ + 1)у/ kattalikni qo‘yish
mumkin. U holda quyidagi tenglamaga kelinadi:
Tr
у
+
+ U
(r)y
= Ey
(5.6)
2 mr
143
Olingan (5.6) tenglama faqat bitta r o‘zgaruvchiga bogiiq
boiganligi uchun цг{г,в,(р) toiqin funksiyasini quyidagi koiinishda
izlanadi:
\jf(r,e,(p)=R(r)Ylm{e,
(5.7)
bunda Ylm(e,cp) funksiya M 2 operatoming xususiy funksiyasi. Olingan
Vf{r,0,(p) funksiya ham (5.5), ham (5.6) tenglamalarning yechimi boiadi
va ushbu ikkita tenglamalami qanoatlantiradi. Agarda (5.7) funksiyani
(5.6) tenglamaga qo‘ysak va r,Je,ip) ga boiib yuborilsa, R(r) funksiya
uchun Shredinger tenglamasining radial qismi hosil qilinadi:
л „ ft2
1(1
+
1
)
T>R + - ~ T - R + U(
v
)R = ER.
(5.8)
Eslatib o‘taylikki, ^от(б-.ф) funksiya M 2 operatoming xususiy
funksiyasi boiib, bir vaqtning o‘zida impuls momenti bitta
proyeksiyasining ham xususiy funksiyasi boiadi, koordinatalar
sistemasini shunday tanlaymizki, nazarda tutilayotgan proyeksiya M z
proyeksiyasi boisin. Shu sababdan markaziy kuch maydonida
energiyaning saqlanish qonunidan tashqari yana ikkita saqlanish qonuni
mavjud boiadi, ya’ni harakat miqdori momentining saqlanish qonuni va
fazodagi ixtiyoriy ravishda yo‘naltirilgan z - o‘qiga moment
proyeksiyasining saqlanish qonunlaridir. Boshqacha aytganda, markaziy
simmetrik maydonda toiiq energiya, impuls momentining kvadrati va
z- o‘qiga impuls momenti proyeksiyasi bir vaqtning o‘zida oichab
boiadigan kattaliklarni tashkil qiladi.
Toiqin funksiyaning radial tashkil etuvchisi uchun hosil boigan
(5.8)
tenglamani
batafsil
tekshirib
chiqaylik.
Olingan
(5.8)
tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishda izlanadi:
R(r) = ~
r X(r)
(5.9)
va (5.9) ni (5.8) ga qo‘yib,
h2 I d ( jdR')
h2 1 d ,
,
h2 I d 2 x
2
m r
1
di\
d r )
2
m r
1
dr X X^
2
m r dr:
(5Л0)
ni hisobga olgan holda, x(r) funksiya uchun quyidagi ko‘rinishdagi
tenglamani hosil qilinadi:
h2 d2x h2I(l +1)
+
(5 Л 1 )
144
r-0 nuqtadagi toiqin funksiyasining chekli boiishi:
Z(0) = 0
(5.12)
shartga olib keladi. (5.11) dagi radial funksiya uchun tenglama
|
