2a(v + l + \)-2Z
A i о -
^
v =0,1,2,
j
,.....
(5.38)
V+1 (v + / + 2)(v + / +1) - /(/ +1)
Birinchi o0 koeffitsiyent ixtiyoriy ravishda tanlab olinishi kerak. Bu
koeffltsiyentga qandaydir qiymat berib, (5.38) dan a, ni topish mumkin,
a, orqali
a2 aniqlanadi va hokazo. Barcha
av lami hisoblab, p
darajalari bo‘yicha qator shaklidagi izlanayotgan yechimni topish
mumkin. Rekurrent formuladan ko‘rinib turibdiki, (5.35) qator Z va
a
o‘zgarmaslar o‘rtasidagi munosabatga bogiiq ravishda cheksiz darajali
yoki chekli darajali kabi qatorga, ya’ni polinomga aylanadi. Agarda
Z
X = —
va
S = 2l + l
a
kabi belgilash kiritilsa, (5.38) formulani
5 + 1
-
2 a
(v +
~
Яу
v + 1
v + / + 1
ko‘rinishda yozish mumkin boiadi. Agar qator uzilmasa va v
intilsa, quyidagi formulaga ega boiinadi:
ar
f' + l
Bo xil rekurrent formula eksponenta ko‘rinishidagi
funksiyalar uchun
o‘rinlidir. Haqiqatdan ham:
e2ap =j?--(2ap)"
n!
boiganligi uchun
qatoming
p"
va
р'ы
hadlari oldidagi
koeffitsiyentlarining nisbati:
6n+l _
(2a)"+! (2a)" _ 2
a
bn
(и +
1)!
и!
и
+ 1
ga teng boiadi. Demak (5.35)
qator chekli boimasa, v ning katta
qiymatlarida
f(p) funksiyani tavsiflovchi qator,
e
funksiya kabi
o‘zgaradi va p ning cheksizlikka intilishida
chekli boiish sharti
qo‘yilgan
R radial funksiya uzoqlashuvchi asimptitotikaga ega boiib
exp
(ap)
P
olmaganligi sababli bu yechimning ahamiyati yo‘q.
p
da yechim
qoladi, ya’ni p->°° da
Fizik haqiqatni aks ettira
153
chekli bo‘lishi uchun qator biror v hadda uzilishga ega bo‘lishi kerak.
U holda
f(p) qator ko‘phad boiib qoladi va p - » « boiganida ham
R-*0 boiadi. Hosil qilingan bunday
yechim tekshirilayotgan
tenglamaning xususiy funksiyasi boiib, p = о dan to
p —
00 gacha
boigan intervalda chekli va bir qiymatli boiadi.
Endi (5.35) qator biror v hadida uzilishga to‘g‘ri
keladigan shart
aniqlanadi. Qator uzilish uchun (5.38) ning o‘ng tomonidagi kasr surati
nolga aylanishi lozim, ya’ni
2a(nr+l+\)-2Z = 0
yoki
a =-
Z
«r+/ + 1
(5-39)
boiishi kerak. Hosil qilingan
(5.39) tenglikdan ayonki,
bu shart
bajarilganda
а п,.л\
koeffitsiyentmng o‘zi va undan keyingi
koeffitsiyentlaming barchasi nolga teng boiishi kerak. Demak, / (p)
yechim ko‘phadga aylanishi uchun va shu bilan birga
R{p) funksiya
butun intervalda chekli boiishi uchun (5.39) ifoda yetarli va zaruriy
shart sifatida bajarilishi kerak.
