boradi. Shunday qilib, kichik masofalarda
x(r)~r'+' boiib, toiqin
funksiyasining radial qismi esa
R(r)=Arl
(5.17)
orqali ifodalanadi. Kuch markazidan
r berilgan masofada
в va
burchaklarga bogiiq boimagan holda zarrachani topish ehtimolligi
radial funksiya modulining kvadrati bilan beriladi, ya’ni \R\'r2dr ga
proporsional kattalik bilan. (5.17) tenglamadan ko‘rinib turibdiki, kichik
r masofalarda zarrachani topish ehtimolligi r2,+2dr ga proportsional
boiadi va I kattalashgau sari bu ehtimollik berilgan masofada kamayib
boradi, boshqacha aytganda, markazdan qochma kuch zarrachani
markazdan uloqtirib tashlashga harakat qiladi.
Endi toiqin funksiyani koordinata boshidan katta masofalarda
asimptotik holatini tekshirib chiqaylik. Katta masofalarda zarrachaga
ta’sir etuvchi kuch nolga yaqinlashib boradi va U(r) potensial
energiyaning boshlanishi deb hisoblanadi, u holda
lim U (r) = 0
Г
-
»
o
o
boiishi kerak. Demak, (5.11) tenglamada r ning katta qiymatlarida E%
hadga nisbatan u% va
hadlarni hisobga olinmasa ham
2 mr
boiadi, u holda (5.11) tenglama
(5.i8)
dx-
h~
ko‘rinishga keladi. Olingan (5.18) tenglamaning yechimi
X = C{eikr + C2e~ikr
(5.19)
ko‘rinishda izlanadi, bunda C, va C2- integrallash doimiylaridir.
Avvaio E energiyaning musbat qiymatlariga javob beradigan
yechimlarni tekshirib chiqaylik. E>0 boiganida (5.18) formula orqali
berilgan к kattalik haqiqiy qiymatga ega boiadi.
(5.19) toiqin funksiyaning radial qismi ikkita funksiya yigindisidan
iborat boiadi:
ikr
R(r) = Ct— + C2-- .
(5.20)
r
r
Kuch markazidan uzoq masofalarda radial funksiya yaqinlashuvchi
va uzoqlashuvchi sferik toiqinlaming superpozitsiyasini ifodalaydi.
Zarrachani topish ehtimolligi katta r larda ham noldan farqli boiadi,
146
ya’ni
r va
r+dr oralig‘ida zarrachaning topish ehtimolligi |д|2 va shar
qatlamining
Aw1 dr hajmiga proporsional boiadi:
Bunday holatlar klassik mehanikada
aperiodik orbitalarga mos
keladi, bu holatlarda zarracha cheksizlikdan kuch markazi tomoniga
harakatlanadi va keyinchalik yana cheksizlikka qarab harakatni davom
ettiradi , ya’ni infinit harakatga kelinadi. Tekshirilayotgan holat
statsionar holatga tegishli boiganligi uchun kelayotgan zarrachalaming
oqimi ketayotgan zarrachalaming oqimiga teng boiishi kerak.Demak,
kelayotgan va ketayotgan toiqinlaming Сi va
C
2
amplitudalarining
modullari teng boiishi shart. Agarda с
= —
Ac"‘
va с,
= - —
Ае'ш
deb
2
i
*
2
i
qabul qilinsa hamda
A va a laming qiymatlari haqiqiy qiymat ekanligi
hisobga olinsa, (5.20) ning asimtotik yechimini
turg‘un sferik toiqin shaklida yozish mumkin.
Endi
E<0 manfiy energiyalar sohasini tekshirib chiqaylik.
Zarrachalaming kinetik energiyasi har doim musbat boiganligi sababli
zarracha faqat markazga tortilish holatidagina
toiiq energiya manfiy
qiymatlami qabul qiladi. Agarda
E<0 boisa,
к kattalik mavhum
qiymatlami qabul qiladi, ya’ni
к = щ , va
=
boiganida (5.20)
radial funksiya
ko‘rinishda yoziladi.Endi r->°° da toiqin funksiya chekli boiish
shartini qanoatlantirish uchun biz
C2 doimiyni nolga teng deb olish
kerak va
W
(r) dr ~ R
2
4 jr r 2dr =
4
ж |
Cxeikr +
C2e~ikr f
dr.
r
r
(5.22)
(5.23)
natijaga kelinadi. (5.23) dan ko‘rinib turibdiki r->°° da
R toiqin
funksiya nolga intiladi va u chekli boiadi.
Bunday holatlar uchun
zarrachaning topilish ehtimolligi
ga teng boiadi. Demak, kuch markazidan cheksiz katta masofalarda
zarrachani topish ehtimolligi nolga teng boiadi, boshqacha aytganda
r
da
w ( r ) 0 boiadi, ya’ni zarrachani kuch markazi atrofidagina
topish mumkin. Bunday holatlar klassik mehanikada davriy orbitalarga
mos keladi, boshqacha aytganda zarracha kuch markazi atrofida
harakatlanadi, ya’ni finit harakatga keltiriladi.
E<0 boiganda energetik spektr to‘g‘risida fikrlashib o‘taylik.
Yuqorida qayd etilganidek, bunday energiyalarga
finit harakat mos
keladi va tegishli boigan toiqin funksiyalar kvadratik integrallanuvchi
toiqin funksiyalar boiadi. Bunday toiqin funksiyalar diskret spektrga
tegishlidir. Demak,
E<0 boiganda diskret energetik spektrga ega
boiamiz.
Endi
U(r) potensial energiyaning bir nechta tipik hollarini koi'ib
chiqaylik. Cheksizlikda potensial energiya nolga teng deb hisoblanadi.
14-rasmda zarrachaning itarishish holi uchun
U(T) potensial energiya
tafsiflangan.
