gacha barcha qiymatlari mavjuddir. 15-rasmda esa tortishish holatlari
uchun potensial energiya tavsiflangan.
Bu holatda ikki imkoniyatni ajratish zarurdir, ya’ni
E><) va
E<0
bo‘lganida. Birinchi holatda energetik spektr uzluksiz qiymatlami qabul
qiladi,
ikkinchi holatda esa biz Eh E2, ...
E„ diskret, uzlukli qiymatlar
spektriga ega boiinadi. Uzlukli va uzluksiz spektrlardan tashkil topgan
umumiy energetik spektr Kulon qonuniga binoan yadro bilan
elektronning o‘zaro ta’sirini ifodalavchi energetik spektrga tegishlidir.
Yuqorida ko'rsatib o‘tilganidek, diskret sathlar atomdagi elektronning
harakatiga tegishlidir. Aksincha uzluksiz, diskret bo‘lmagan, tutash
spektr ionlashgan atomning energiyasiga mos keladi, chunki bu holatda
elektron atomdan yetarli darajada uzoqlashgan va to‘la energiyasi
musbat qiymatga ega bo‘ladi. Keltirilgan diagrammadan ionizatsiya
uchun zamr bo‘lgan energiyani hisoblab chiqish mumkin. Normal
holatda, ya’ni uyg‘onmagan holatida, elektron
E { energiyaga ega
bo‘ladi. Atomni ionlashtirish uchun shu atom elektronining energiyasi
noldan katta bo‘lishi kerak, shuning uchun
normal holatdagi atomni
ionlashtirish uchun sarflangan minimal ish
/ = ()-£,=-£]
(5.24)
teng bo‘lishi kerak.
Umuman olganda (5.2) dagi Shredinger tenglamasining umumiy
yechimi (5.7) dagi to‘lqin funksiyalari superpozitsiyasi orqali berilishi
mumkin,ya’ni:
у/(г,0,ф) = Х
« №
( 0-<Р)
(5.25)
l,m
ko‘rinishda bo‘ladi. Xususiy holda
burchakka bog‘liq bo‘lmagan
yechimlar uchun biz m=0 holatlaming supeфozitsiyasiga mos keluvchi
oddiy ifodaga kelamiz,ya’ni:
V/(r,0) = X CA W ( cos0)
(5.26)
/
bo‘ladi.
5.2. Kulon maydonidagi harakat
Kvant mexanikasining yaratilishi bilanoq, atomning kvantomexanik
nazariyasi rivojlantirildi va bu nazariya tabiat hamda unung tuzilishi
haqidagi bilimlarimizni tubdan o‘zgartirdi hamda bir qator hodisalami
149
tushuntirib berishga imkon yaratib berdi. Bu nazariya elementlar davriy
sistemasining kelib chiqish negizini, barqaror
molekulalar tuzilishida
atomlar о ‘zaro ta’sirining xarakterini, qattiq jismlaming mexanik, elektr
va magnit xossalarini va
mikrodunyoning bir qator muammolarini
mukammal tushuntirib bera oldi.
Kvant mexanikasidagi eng sodda masalalardan biri yadroning
Kulon maydonida elektronning harakati to‘g‘risidagi masaladir. Bunday
masalani vodorod atomi
H da, bir marta ionlashtirilgan va zaryad soni
z=2 ga teng geliy He" ionida, ikki marta ionlashtirilgan va zaryad soni
z=3 ga teng litiy Li++ ionida va shunga o‘xshash vodorodsimon atomlar
deb nomlangan ionlarda uchratiladi.
Demak, vodorod va vodorodsimon atomlar, ya’ni yadro
maydonida bittagina elektron boigan atomlar,
elementlar davriy
sistemasidagi eng sodda sistemalar qatoriga kiradi. Vodorod atomi
elektr zaryadi
+e ga teng boigan zarra - protondangina iborat boigan
yadrodan va manfiy
-e zaryadli elektrondan tuzilgan. Proton va elektron
o‘zaro elektrostatik tortishish kuchi orqali ta’sirlashadi. Kulon tortishish
kuchi ta’siridagi bitta elektronning potensial energiyasi
tf(r) = - * l
^5'27>
r
ga teng boiadi. Bunda Ze - yadroning zaryadi, elementlar davriy
sistemasida Z yadroning nomeri, vodorod atomi uchun Z=7, r- yadro
bilan elektron orasidagi masofa. Vodorod atomi holida proton
maydonida harakatlanayotgan elektron uchun
kvant sathlarini topish
uchun Shredinger tenglamasining radial qismini yechish kerak
boiadi.Ushbu radial funksiya
R = X
(5-28)
r
ko‘rinishda olinsa, awalgi paragrafda hosil qilingan (5.11) tenglama
olinadi. Bu tenglamaga (5.27) dagi
U ning qiymati qo‘yilsa va
elektronning massasini
m desak, markaziy simmetrik maydonda
statsionar harakat qilayotgan elektron toiqin funksiyasining radial
qismi uchun yozilgan tenglamaga kelinadi:
П2 d2% ,
П2 /(/ +1) _
Ze2
^
i г
л
2
X
% E%.
(5.29)
2m dr
2m r
r
150
Ushbu koi'ilayotgan hoi elektronning yadroga tortishish holiga
mosdir. Shuning uchun markaziy simmetrik
maydonidagi harakatning
umumiy nazariyasiga asosan (oldingi paragrafga qarang) biz
E> 0
bo‘lganida uzluksiz energetik spektrga va
E<0 boiganida diskret
spektrga ega boiinadi. Maqsadimiz yuqorida ta’riflangan diskret
spektrni va
R radial funksiyalami aniqlashdan iborat. Tenglamaning
yechimini olish uchun oichamsiz kattaliklar quyidagicha kiritiladi:
P = ~
va
£ = f ,
(5.30)
bunda
fi2
____ _ „_8
„
me4
e2
a = — - = 0,529 10
*sm E, = — r- = — = 13,55eF
(c
me
’
p . J l j
2ft
2 a
boiadi. Kiritilgan (5.30) belgilashlami (5.29) tenglamaga qo‘yilsa,
m,e,h atom doimiylari qatnashmaydigan quyidagi
d2% ,
2 Z
1(1 + 1),
< 5 - 3 2 >
tenglamaga kelinadi.
Dastavval (5.32) tenglama yechimining asimptotikasi o‘rganiladi.
5.1-paragrafdagi
X funksiyasining asimptotik holatini tekshirishdan
kelib chiqqan natijadan foydalanib, (5.32)
tenglamaning yechimi
quvidagi ko‘rinishda izlanadi:
X(P) = e~apf ( p ) , a =
(5-33)
Bunda noma’lum /(p) funksiyaning oshkor korinishi asimptotada
e~af> dan tez o‘smaydigan boiishi kerak. (5.33) yechimni (5.32)
tenglamaga qo‘yilsa, / funksiya uchun quyidagi differensial tenglama
hosil boiadi:
o.
< 5 J 4 )
dp~
dp \P
P I
(5.34) tenglamaning yechimi - / funksiyaning oshkor ko‘rinishini,
yuqoridagi shartga ko‘ra, darajali qator shaklida izlanadi. Umumiy
nazariyadan ma’lumki, (5.29) tenglamaning yechimi
r = 0 da chekli
151
boiishi uchun, rning darajalari bo‘yicha tuzilgan qator r w haddan
boshlanishi kerak. Shuning ucnun /(p) ni quyidagi ko‘rinishda
izlanadi:
/
(5.35)
bunda
av lar hozircha no‘malum bo‘lgan koeffitsiyentlar. Hosil
qilingan (5.28) va (5.33) tengliklardan ma’lumki,
ЩР)
p
(5.28’)
radial funksiya p ning cheksizga intilishida chekli bo‘lish
sharti bilan
aniqladi. (5.35) dagi noma’lum
aY koeffxtsiyentlarni topish uchun
(5.35) ni (5.34) ga qo‘yib,
(v +/ +
