kvant sonlari deb yuritiladi. Shu narsani alohida qayd qilib o‘tish joizki,
vodorod atomi elektronining statsionar holatlari energiyasi uchun kvant
mehanikasi asosida aniqlangan (5.41)
ifoda shu hoi uchun Bor
nazariyasida
n
= 0
qiymatning qabul qila olmasligini alohoda uqtirib
keltirilgan edi. Kvant mehanikasida esa bu muammo o‘z-o‘zidan
bartaraf qilinadi, chunki
1
=
0
,
1
,
2
,...,
qiymatlami qabul qiladi va
nr
esa
(5.35) qator hadining nomeri boiib uning eng kichik qiymati nolga teng
boiadi va (5.40) ga asosan bosh kvant soni nol qiymatni qabul qila
olmaydi.
5.3. Vodorodsimon atomning to‘lqin funksiyasi
To‘lqin funksiyaga qo‘yilgan cheklilik shartidan (5.34)
tenglama
Z
yechimini chekli darajali polinom bo‘lishi aniqlandi.
a ~~ xususiy
yechimlar uchun (5.38) formula sezilarli darajada soddalashadi, ya’ni
2Z
n
—
( /
+
V +
1)
/ с
°v+'~
V (v+\)(2l+v+2)°v
^
bo‘ladi. Bu formula yordamida
av koeffitsiyentlami ketma-ket hisoblab
chiqib, (5.35) formulaga qo‘yilsa:
/(P) = «
o
P,+!
’
n - l- 1 2
Z p i (n - l- l)(n — 1 — 2) 2Zp 2 |
l!(2/ + 2)
n
21(21 + 2)(2/ + 3)
n
(5.44)
(5.45)
+/_m
(n—l-\)(n-l-2...)
2 Zp
nr 1(2/ + 2)(2/ + 3)...(2/ +
nr +1)
nr
ifoda hosil qilinadi. Bu formulada yangi
% o‘zgaruvchini
- _
2Zp _ 2Z
n
na
ko‘rinishda kiritish va barcha doimiy ko‘phadlami bitta
Nnt orqali
belgilash natijasida (5,28') formuladan и va
1 kvant holatlarga tegishli
bo‘lgan
R„i(P) funksiya uchun quyidagi formulaga kelinadi:
K ,(Z ) = N„,e гЯЪ11%}{£)
(5.46)
155
bunda
LnJtl kattalik orqali (5.44) formuladagi kvadrat qavs ichidagi
ko‘phad belgilangan. Matematika kursidan maiumki, (5.44) dagi
ko‘phad Lagerr polinomlari
1
Л ) = е ^ ( е - ^ ‘ )
( 5 ' 4 7 )
dan olingan hosilalar orqali ifodalanishi mumkin. Umumiy holda ^*(1)
ko‘phad deganda
х‘*й )= ^ 74й)==‘"’ ^
(е^ ‘ )
<5'48)
ko‘phadni tushinish kerak va (5.48) dagi ifodani, odatda, umumlashgan
Lagerr polinomi deyiladi. Agarda
k=n+l va
s=2l+J desak, (5.44) dagi
kvadrat qavslaming ichidagi ko‘phad olinishi va ushbu olingan (5.47)
va (5.48) formulalar yordamida #,,(?) funksiyani hisoblash mumkin.
(5.46) formuladagi
N„, normallovchi koeffitsiyentni normirovka
sharti yordamida aniqlanadi:
(549)
0
yoki:
2n [(/! + /)!]’
(и —/ —1)!
ekanligini hisobga olib, pirovardida vodorod atomi energiya
operatorining normallashgan xususiy funksiyalari uchun
