shart bajariladi. Agarda
m=n bo‘lsa, u holda jV ‘»(x)cfo
chekli
qiymatga ega bo‘lib, bu natijadan normallovchi
A„ ko‘paytuvchini
hisoblash uchun foydalanish mumkin. Normallash
sharti quyidagidan
iborat:
г ,
(4-60>
f p „(x)dx = 1.
— oc
Bu ifodaga funksiyaning (4.55) qiymatini qo‘yib,
e~*'
та)
tenglik hosil qilinadi. Integral ostidagi Ermit polinomlarining bittasini
o‘miga (4.56) ifodani qo‘yib, oxirgi tenglik quyidagicha yoziladi,
mat
Bu integralni
n marotada bo‘laklab integrallansa,
m(o f
dg
natija hosil qilinadi. Ermit polinomlari uchun
- - - Н Я ) = 2"п\
d£"
va
c2-‘-
В
tengliklami e’tiborga olinsa, normallovchi ko‘paytuvchi uchun quyidagi
ifoda hosil qilinadi:
\ma> L L
(4-61)
A = 4
” ЦПл^2"п\
Shunday qilib, chiziqli garmonik ostsillyator uchun to‘Iqin funksiyaning
ko‘rinishi
p
mco
1
„
(4.62)
VMc>-; .
0„
//„(c)
пк
2
n\
127
bo‘ladi. Kichik kvant sonlar sohasida, masalan
n = 0, 1, 2 qiymatlariga
mos energiyaning
xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalari
quyidagicha bo‘ladi:
2
2'
E0=^he>,
^ 0 = 4 ,e x p ^ ~ /2j,
Ex=^Ha>,
ft, = Л,2^ехр^-^/2|,
Е2=^П
ш
,
ft2 = 4 ,(4 /2-2)exp|-^/2
Keltirilgan qiymatlar 9-rasmda tasvirlangan.
9-rasm. и=0,1, 2 qiymatlarda garmonik ostsilyatorning toiqin funksiyalari
ko‘rinishi (a) va
E„ kvant sathlarning diagrammalari (b).
(4.62) formuladan nolinchi holatni
batafsil tekshirib chiqaylik, uning
xususiy funksiyasi
УЛ,(О-
1
/ x 2 4
2x0
V
У
ga teng boiadi va unga mos ehtimollik zichiligi esa
1
ь --- exP
X.
к
x:
V
0 7
ko‘rinishda boiadi.
ф 0(х)\ ni tasvirlovchi egri chiziq Gauss xatoliklar
egri chizigl tipidadir va bu ehtimollik 10-rasmda tasvirlangan.
128
10-rasm. Garmonik
ostsilyatorning
E
0
- eng
kichik energiyali holatidagi
klassik va kvant
ehtimolliklari.
Шkl
в
Olingan
egri
chiziqning
ko'rsatishicha,
ostsillyatoming
nolinchi
holatida
zarracha
vaziyatini ko‘p
marta aniqla-
ganimizda, uni har doim ko‘proq
muvozanat
vaziyati
(
x=0)
atrofida topiladi. Bu holatning
xususiyati
shundan
iboratki,
ostsillyatoming energiyasi nolga
teng boimay, balki
E0= —hco
teng boimay, balki
E0 =
teng boiishidadir.
Shunga muvo-
fiq ravishda, kvant ostsillyator
absolut nolda tinch turmaydi.
Klassik
ostsillyator esa, klassik fizika va Bor nazariyasiga binoan
potensial o‘ra tubida nolga teng energiya bilan harakatsiz holda boiadi.
Ammo kvant nazariyasida, Geyzenberg noaniqlik prinsipiga ko‘ra,
zarrachaning
koordinatasi va impulsini, klassik ostsillyator holidan
farqli o‘laroq, bir vaqtda aniq bilish mumkin emas. Zarrachaning nolga
teng impuls bilan potensial o‘ra tubida aniq joylashishiga kvant
mexanikasining noaniqlik prinsipi yo‘1 qo‘ymaydi.
Hozir noaniqlik
munosabatlarini qanoatlantirishi uchun -йо)-nolinchi energiyani
ostsillyatoming eng minimal energiyasi ekanligi ko‘rsatiladi.
Zarracha vaziyatining noaniqligi sifatida o‘rtacha kvadratik xato
qabul qilinadi:
Klassik ostsillyator uchun x = cos
harakat
davriy harakat boiadi, chunki vaqt bu formulaga davriy
funksiya orqali kiradi. Demak ,
Ax =
(4.63)
boiadi,chunki
129
Keltirilgan (4.63) formulada
a - klassik ostsillyator tebranishining
amplitudasini ifodalaydi. Biroq ostsillyatoming toia energiyasi
En = — ma2(02
