21 + Х -Л
а,+2 ~ (I + 2)(1 + 1 )°'
(4.50)
Hosil boigan formula (4.47) qatorning hamma hadlarini bittadan
hadma-had hisoblab chiqish imkonini beradi. Qator
1 = 0 darajadan,
yoki / = 1 darajadan boshlanishi mumkin bo‘lganligi uchun mazkur
rekurrent formula ikki qatordan iborat bo‘ladi,
ulardan bin faqat juft
darajali qatordan
ao+аЛ 2+аЛ 4
*=«
(4.51)
tashkil topgan bo‘ladi. Ikkinchisi esa faqat toq darajali qatordan
аЛ + a& + a£ s +■•• + ... = Х Й2
^ 52)
tashkil topgan bo‘ladi. Bu ikki qator (4.46) tenglamaning o‘zaro bir-
biriga bog‘liq bo‘lmagan ikki xususiy yechimini tashkil etadi.
Qatorlarining hadlari soni cheksizlikka intilsa, ya’ni
£, ning katta
boiganida qator o‘zini exp(£2)kabi tutishini ko‘rsatiladi. Ma’lumki,
eksponentani darajali qatorga yoyish natijasida quyidagi ifoda olinadi:
2
£ 2
Pn
£n+]
e1'
=1+ тг + %т + ...+
7
^-т—
+
1
!
2
!
v2v
-b0+b ^ +b4^+ ... + b ^ + b n+1^
+...
yetarlicha katta boiganida bu yig‘indining birinchi hadlari yuqori
hadlariga nisbatan muhim ahamiyatga ega ekan.
(n + 2) darajali had
koeffitsiyentini «-darajali had koeffitsiyentiga nisbati
Ь * + 2
_
/
\
n +l
V2
У
n ,
I -+]
2
boiadi. Yetarlicha katta
n uchun ushbu nisbat
bn
n
ga teng boiadi. Bu esa (4.50) rekurrent formulaga binoan (4.51) qator
hadlarining
yetarlicha
katta
boigan
holida
mos
hadlari
koeffitsiyentlarining nisbati kabidir, ya’ni
124
a„
(и + 2)(и + 1)
n
Demak, (4.51) qator haqiqatan ham £ ning
kabi funksiyasidir.
U holda bu xususiy yechimga mos (4.45)
W funksiya quyidagicha
ifodalanadi:
¥ = exp(-2
)
ya’ni, asimptotada
\jf(4 -» °°) = 00 boiadi.
Bu hoi toiqin funksiyaga
qo‘yilgan cheklilik shartiga zid keladi. Demak, qatoming hadlar soni
chekli boiishi kerak, ya’ni qator biror chekli darajali polinom boiishi
kerak, chunki faqat shu holdagina toiqin funksiya cheklilik talabini
qanoatlantiradi,
boshqacha aytganda /(£,)
funksiya polinomga
keltirilsa, u holda eksponensial ko‘paytuvchining mavjud boiishi,
boiganida toiqin funksiyani nolga aylanishini ta’minlaydi.
Shunday qilib, (4.51) va (4.52) qatorlar polinomlarga aylangan
hollardagina toiqin funksiyasiga qo‘yiladigan
standart talablami
qanoatlantiruvchi yechimlar olinadi. Agar
2n +1 - A = 0
(4.53)
boisa, u holda (4.50) rekurrent formula asosida «-darajali had bilan
tugallanuvchi polinom hosil qilinadi. (4.53) formuladan topilganA
qiymatini (4.41) ga qo‘yib, quyidagi hosil qilinadi:
:
b o n + -
1
n = 0,1,2,...
(4.54)
Hosil boigan (4.54) formuladan ko‘rinib turibdiki, ostsillator energiyasi
faqat diskret qiymatlami qabul qilishi mumkin,
va ostsillyator uchun
energetik sathlar bir-biridan bir xil masofada joylashadi.
Shunday qilib, ostsillyatoming toiqin tenglamasining yechimi
boigan toiqin funksiyalari, faqat ostsillyator energiyasi qiymatlarining
(4.54) dagi formula bilan ifodalangan diskret qatoriga mos
keladiganlarigina chegaraviy shartlami qanoatlantiradi. Olingan (4.54)
formula Bor postulatlaridagi £'„ = Й© formulasidan farq qilishiga e’tibor
qaratish kerak. Kvant ostsillyator energiyasining eng kichik qiymati
(4.54)
ga binoan noldan farqli boiib,
E0=^h(a teng bo‘ladi va £„
qiymatni “nolinchi energiya” deb ataladi. Bu nomning kelib chiqishi
-ftco energiyaning hatto absolut nol temperaturada ham yo‘qolmasligi
bilan bog‘liqdir. Hosil qilingan (4.54) formuladan kelib chiqadigan
yana bir xulosa ostsillyator energiyasining kvantlanishi ham to‘lqin
funksiyasining butun fazoda chekli bo‘lishining tabiiy sharti natijasidir.
Mana shunday tabiiy shartlaming sodda natijasi sifatida kvantlanish
hosil
qilish
imkoniyati
Shredinger
tenglamasining
ajoyib
xususiyatlaridan biridir. Chiziqli ostsillyator
energiyasining har bir
xususiy qiymatiga ((4.54) ga qarang)
(4'55)
xususiy funksiya mos keladi, bunda
A„ -o‘zgarmas normallovchi
ko‘paytuvchi,
/„(£)
esa
л-darajali
polinom
bo‘lib,
uning
koeffitsiyentlari
