9-MA’RUZA.
Mavzu: Jadval ko’rinishda berilgan funktsiyalarni approksimatsiya qilishda
splayn-funktsiyalar usuli. Bir o’lchovli xol uchun splayn-funktsiyalarni tanlash va
qurish usullari.
Reja:
1. Splayn-funktsiyalar zarurati.
2. To’r tugunlari splayn-funktsiyasi
3. Birinchi darajali funktsiyalar va ular tadbiqi.
4. Ikkinchi darajali splayn-funktsiyalar va ular tadbiqi.
Asosiy ibora va atamalar: splayn-funktsiya, grafiklarni ulash, tugun funktsiyasi.
Amaliyotda funktsiya analitik ko’rinishi noma’lum bo’lib, faqat uning
qiymatlar jadvali berilgan bo’lsin. Bu xolda interpolyatsiya yoki EKKU usullariga
ko’ra approksimatsiyalovchi funktsiyalarni topish mumkinligini ko’rdik.
Funktsiyaning analitik ko’rinishi va jadval ko’rinishi o’zaro ma’lum
qonuniyatlarga ko’ra bog’langan. Funktsiyaning grafigi ham uning berilish
usullaridan bo’lib, funktsiya xususiyatlarini bevosita namoyon qiladi va grafikka
qarab ko’plab amaliy xulosalarni qilishimiz mumkin. Shuning uchun funktsiya
grafigini chizish bilan bog’liq bo’lgan muammolar va ularning echish usullari
haqida to’xtalamiz. Funktsiya grafigini bevosita qog’ozda chizmoqchi bo’lsak
avvalo ma’lum qadam bilan funktsiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz. Hosil
bo’lgan nuqtalarni koordinat tekislikda belgilaymiz. Belgilangan nuqtalarni
tutashtirish esa taqriban, yoki kesmalar bilan, yoki lekala yordamida, yoki ko’z
57
bilan chamalab amalga oshiriladi. Bu usullarning barchasi
oraliqda
funktsiya qiymatlari yo’qligidan. Grafikni kompyuterda chizadigan bo’lsak
nuqtalar
sonini
etarlicha
katta
olish
imkoniyati
bor.
Shuning
uchun
oraliqlarda funktsiya qiymatini aniqlash zarurati paydo bo’ladi.
Yana bir karra qayd etib o’tamiz,
qiymatlari kuzatuvlardan, yoki biror taqribiy
formula yoki usuldan topilgan bo’lsa, bu qiymatlar sanoqli bo’ladi. Shuning uchun
biz funktsiya qiymatlar jadvali bilan berilgan xolni ko’ramiz.
…………
…………
Zarurat yoki masala talabiga qarab chiziqli, kvadratik yoki kubik splayn-
funktsiyalarni farqlashadi. Bu xollarning barchasida nuqtaning splayn-funktsiyasi
tushunchasi kiritiladi.
Chiziqli splayn-funktsiyalar va splayn-approksimatsiya. Tasavvur qiling
funktsiya jadval qiymatlari koordinat tekisligida belgilangan. Agar ularni kesmalar
bilan tutashtirsak grafikning taqribiy ko’rinishi xosil bo’ladi. Bu jarayon 7-rasmda
y
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
n
x
aks ettirilgan. Chizmadan ko’riladiki xar bir oraliqda funktsiya grafigi to’g’ri
chiziq kesmasi bilan ifodalanyapti. Bu jarayon analitik ifodasini topish uchun xar
bir
oraliqda to’r tuguni
nuqtaning chiziqli splayn-funktsiyasini
tuzamiz. Xususan
2ta tugun bo’lib ularning xar biri uchun o’z splayn-
funktsiyasi tuziladi. Ular
va
(9.1)
bo’lib tuzilishiga ko’ra
58
shartlarga ko’ra tuzilgan. Ular yordamida
jadval funktsiya
uchun
(9.2)
Taqribiy formula hosil bo’ladi.
(9.1) va (9.2) formulalarda
Barcha oraliqlarda foydalanilsa aynan 7-rasmda ifodalangan funktsiyaning
analitik ko’rinishi berilgan bo’ladi. Funktsiyani (9.2) ko’rinishda ifodalab, shu
formulaga ko’ra kompyuterda grafigini chizadigan bo’lsak 7-rasmdagi grafik
xosil bo’ladi. Agar 7-rasmdagi siniq chiziqlarga qaraganda silliqroq, aniqroq grafik
kerak bo’lsa, 2-, 3-tartibli splayn-funktsiyalarga murojaat qilish mumkin. Biz bu
erda 2-tartibli, ya’ni kvadratik splayn-funktsiyalarni tuzish hamdafunktsiyani shu
splayn-funktsiyalar orqali ifodalash qoidalarini namoyish qilamiz. Kubik splayn-
funktsiyalar shu printsipda tuziladi. Uni o’quvchining o’ziga mustaqil mashq
sifatida qoldiramiz.
Kvadratik splayn-funktsiyalar.
Funktsiyaning qiymatlar jadvalida qiymatlar soni toq, oraliqlar soni juft bo’lsin.
……
……
Bu erda
juft ekanligini unutmaslik uchun kiritilgan belgilash.
Jadval
qiymatlarni
o’zaro
ulangan
uchliklarga
bo’lib
chiqamiz.
xar
bir
uchlik,
ya’ni
oraliq
uchun
uning
tarkibidagi
tugun
nuqtalar
larning splayn-funktsiyalarni tuzamiz.
59
Ular orqali va funktsiyaning jadval qiymatlari yordamida,
funktsiyaning
oraliqdagi taqribiy ko’rinishini topamiz.
(9.3)
(9.3) formula yordamida jadval funktsiya ko’rilgan xar bir oraliqda kvadratik
funktsiyaga almashtirilar ekan. Grafigi esa o’zaro ulangan parobalalar
orqaliifodalanadi. (9.3) formulaga e’tibor beradigan bo’lsak u Lagranj
interpolyatsion ko’phadini eslatadi. Chunki bu erda xam aynan Lagranj printsipiga
amal qilingan. Shu qoida asosida hech qiyinchiliksiz kubik splayn-funktsiyalar
orqali approksimatsiyalash formulalarini xam ifodalash mumkin. Eslatma:
(9.2),(9.3) formulalar
funktsiyaning ixtiyoriy
nuqtadagi
qiymatni xisoblash uchun ham xizmat qilishi mumkin. Bu jarayonni ham
avtomatlashtirish va kompyuterda bajarish mumkin.
Ikki o’zgaruvchili funktsiyalar uchun ham splayn-funktsiyalar ko’pgina
muammolarni hal qilish mumkin. Biz bu erda ba’zi, eng sodda xollardagina
to’xtalamiz. Chunki ikki o’lchovli xol geometriyasi ham, tarkibi bo’yicha ko’plab
muammolarni yuzaga chiqarar ekan. Biz bu erda funktsiyaning qiymatlar jadvali
to’g’ri to’rtburchakli ko’rinishda bo’lgan xolniginako’ramiz. Funktsiya qiymatlari
quyidagi jadval ko’rinishida berilgan bo’lsin.
60
Bu erda
belgilash kiritilgan.
8-rasm
Jadval tugunlarining xar 8-rasmda ko’rsatilgandek bo’lagi uchun ikki xil
uchburchakli yoki to’rtburchakli splayn-approksimatsiya printsipidan foydalanish
mumkin. Dastlab uchburchakli approksimatsiya xolatida to’xtalamiz. Bunda
nuqtalar bo’yicha tekislik o’tkaziladi.
Bunda uchburchakning xar bir nuqtasi o’z splayn-funktsiyasi o’tkaziladi. Yozuvlar
va
taxlilni
soddalashtirish
uchun
berilgan
uchta
nuqtani
deb belgilasak,
nuqtalarning
splayn-funktsiyalari quyidagi ko’rinishda bo’lar ekan.
(9.3)
(9.3) formulalar universallik xususiyatiga ega bo’lib ular yordamida tuzilgan
splayn-funktsiyalar asosida jadval funktsiya qiymatlari
uchburchak
tekisligida bo’ladi va
61
(9.4)
formula bo’yicha xisoblanadi deyish mumkin. (9.3) va (9.4) formulalar bo’yicha
xisoblash jarayonini dasturlab qo’yilsa, unga ixtiyoriy uchburchak koordinatalari
uchun murojaat qilish mumkin. Bu erda
funktsiyalar splayn-funktsiya
asosiy shartini qanoatlantiradi, ya’ni
(9.5)
Agar 8-rasmda berilgan to’rtburchakli shablon bo’yicha splayn-funktsiyalar
tuzmoqchi bo’lsak, to’rtburchak uchlarini splayn-funktsiyalari quyidagicha
ifodalanadi.
(9.6)
Bu splayn funktsiyalar to’rtburchakning ko’rsatilgan uchida 1 qolgan uchlarida 0
ekani ko’rinib turibdi.
(9.6) formulalar asosida shablon to’rtburchaknuqtalarida splayn-approksimatsiya
(9.7)
formula bo’yicha amalga oshiriladi. Bu erda xam (9.6), (9.7) formulalar bo’yicha
xisoblashlar dasturlab qo’yilsa, butun jadval qiymatlar berilgan soxaga tadbiq
qilish mumkin.
| 