10-rasm
To’g’ri to’rtburchaklar formulasi.
Integrallash oralig’i
ni
qadam bilan ta bo’lakka bo’lamiz. Xar
bir oraliqdagi egri chiziqli trapetsiya yuzasini to’g’ri to’tburchak yuzasi bilan
almashtiramiz. Bu to’rtburchaklar asosi bir xil chunki
bo’lgani uchun
balandligini esa
ga teng deb olsak yuzasi
ga teng
bo’ladi. Natijada
(10.3)
65
formula xosil bo’ladi. Bu formulani geometrik tuzilishidan to’g’ri to’rtburchaklar
formulasi deyiladi. Chizmadan (10-rasm) ko’rinadiki, qadam kichiklashgan sari
(10.3) formuladagi xatolik kichiklishib boradi. Xatolik umumiy miqdorini
baxolash uchun ixtiyoriy bo’lakdagi xatolikni baxolashdan boshlaymiz.
(10.2) formulaga ko’ra
Demak formulaning xar qadamdan xatoligi
bo’lgani uchun xatolik
Tartibida bo’lar ekan.
Demak, aniq integralni xisoblash uchun oddiy (10.3) formulani tavsiya
qilish mumkin ekan. kichiklashgan sari aniqlik ortib borar ekan. (10.3) formula
bo’yicha xisoblashlarni oddiygina dastur asosida kompyuterda bajarish mumkin.
ni kichiklashtirish xisobiga istalgancha aniqlikka erishish mumkin. Kvadratur
formulalar yaratilgan paytda xisoblash vositalari kalkulyator, kompyuterlar
bo’lmagan. Shuning uchun xisoblashlar sonini orttirilmagan xolda, ya’ni ni
maydalamay, aniqlikni orttiruvchi formulalar yaratish ustida izlanishlar bo’lgan.
Natijada shunday formulalar kashf qilingan.
Trapetsiyalar formulasi.
To’g’ri chiziqli trapetsiya.
Bu formula g’oyasi shundan iboratki, har bir oraliqdagi (10-rasm) egri chiziqli
trapetsiya bilan almashtiriladi va izlanayotgan yuzasi trapetsiya yuzasi bilan
almashtiriladi.
Natijadaquyidagi taqribiy formula hosil bo’ladi.
66
Bu yig’indini yoyib yozilsa uni quyidagi ishchi formula sifatida ifodalash mumkin.
(10.4)
(10.4) formula trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu erda ham
qiymati (10.3)
formulasidek
marta hisoblanadi, lekin aniqlik har qadamda
tartibida,
umumiy xatolik esa
tartibida bo’lar ekan. 10-rasmdan xam trapetsiya
formulasi aniqroq ekanligi ko’rinib turibdi. Bu usullarda chizmani almashtirish,
ya’ni integral ostidagi funktsiyani o’zgartirish yo’li bilan ketilayapti. Mantiqan
o’ylaganda funktsiya grafigi egri chiziq, uni to’g’ri chiziq emas egri chiziq
masalan parobola bilan almashtirilsa yaxshi bo’lsa kerak degan fikr keladi. Shu
g’oya asosida formula yaratilgan.
Sipson (parobola) formulasi
Integrallash oralig’i
ni juft sonli bo’laklarga bo’lamiz, ya’ni
bo’lsin. Butun oraliqni uchta-uchta
nuqtadan iborat
ta bo’lakka bo’lamiz.
Shu bo’laklarning har birida funktsiya grafigini berilgan uchta
ga
mos funktsiya grafigi nuqtalaridan o’tuvchi parobala bilan almashtiramiz. Lagranj
interpolyatsion ko’phadi formulasidan foydalansak bu parobala tenglamasi
ko’rinishda bo’ladi. Integralning shu oraliqqa taaluqli qismi
formula bo’yicha almashtiriladi. O’nga tarafdagi integrallar hammasi bir xil
strukturaga ega bo’lganligi uchun umumiy formula chiqarib olamiz.
67
(10.5)
(10.6)
(10.6) formulani(10.5)hadlari integralini xisoblashga tadbiq qilamiz.
Bu natijalarni va (10.5) formulani hisobga olgan xolda
Bu formulani butun oraliqda tadbiq qilsak va soddalashtirsak
(10.7)
ko’rinishni oladi. (10.7) formula Simpson formulasi deyiladi. Bu formula xatoligi
tartibida bo’lar ekan. Ko’rilgan uchtaformula hisoblash hajmi bo’yicha
68
deyarlik bir xil, funktsiyaning
ta qiymatini hisoblashni talab qiladi. Lekin
xatolik tartibi
sezilarli farq qiladi. Amaliy hisoblardaSimpson
formulasidan foydalanish aksariyat xollarda etarli aniqlikni ta’minlar ekan.
Keltirilgan formulalarning tadbiqi va aniqligini namoyish qilish uchun
quyidagi misolga tadbiq qilamiz.
Shu integralni
qadam bilan uchchala usulda xisoblab ko’ramiz. Qiymatlar
jadvali
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1
0,826446
0,694444
0,591716
0,510204
0,444444
0,390625
yordamida to’g’ri to’rtburchaklar formulasini tadbiq qilsak
Trapetsiyalar formulasini tadbiq qilsak
qiymat chiqadi.
Sipson formulasiga ko’ra xisoblasak
qiymatni xosil qilamiz. Bu qiymatlarni
aniq qiymat bilan taqqoslagan
xatolik mos ravishda
ekanligini ko’ramiz. Bu esa keltirilgan aprior baxolar to’g’ri ekanligini,
shuningdek Sipson formulasi xatoligi ancha kichik bo’lib uni ishchi formula
69
sifatida tavsiya qilsa ham bo’lar ekan. (10.7) formula oddiy dastur asosida
kompyuterda xisoblanishi mumkin. Adabiyotlarda keltirilgan usullardan farqli
Nyuton-Kotes, Gauss formulalari ham bor. Bu formulalar nazariy tadqiqotlar
uchun kerak bo’lishi mumkin. Amaliyotda esa Simpson formulasi etarli. Kvadratur
formulalarining qulayligi, ularning universalligi, ya’ni integral ostidagi funktsiya
ko’rinishiga bog’liq emas. Karrali integrallarni hisoblashga mo’ljallangan
kubatur formulalari ham mavjud.
| 