8-MA’RUZA
Mavzu: Approksimatsiya masalasini echishda eng kichik kvadratlar usuli. Empirik
bog’lanish qonunlarini qurish usullari.
49
Reja:
1. Jadval ko’rinishida berilgan funktsiyalarni ko’phadlar bilan approksimatsiya
qilishda eng kichik kvadratlar usuli(EKKU)
2. EKKU bo’yicha chiziqli bog’lanish modelini tuzish.
3. EKKU bo’yicha kvadratik bog’lanish modelini tuzish
4. Bog’lanish qonuniyatini tanlash bo’yicha tavsiya, ko’rsatmalar.
Asosiy ibora va atamalar: funktsional normalar, global ekstremum, empirik
model, eng kichik kvadratlar usuli(EKKU).
Avval ko’rganimizdek jadval ko’rinishda berilgan funktsiyalar qiymatlarida
o’lchov vositalari imkoniyati, yaxlitlash va boshqa ob’ektiv sabablarga ko’ra
vujudga keladigan xatoliklar bo’lishi mumkin. Approksimatsiya masalasini
echishda bu xatoliklarni yo’qotib bo’lmaydi. Ular natijaga o’z ta’sirini o’tkazadi.
Shuning uchun berilgan
nuqtadagi qiymatlar bo’yicha
darajali
interpolyatsion ko’phad tuzaman va
tartibdagi aniqlikka erishaman degan
orzu xom xayolga aylanib qolar ekan. Natija xatoligi jadvaldagi bartaraf qilib
bo’lmas xatolik
tartibida bo’lar ekan. Buning uchun esa darajali ko’phad
ham etarli bo’lar ekan qiymati
ga ko’ra
tengsizlikdan topiladi va aksariyat xollarda
bo’ladi. Lekin
darajali
ko’pxad tuzish uchun esa
ta nuqta etarli bo’ladi. Bunda funktsiya jadval
qiymatlarining faqat bir qismigina jalb qilinadi. Butun jadvalni
ta qiymatli
bo’laklarga bo’lib aloxida-aloxida ko’phadlar tuzishga to’g’ri keladi. Bunda,
tabiiy, mehnat ko’payadi, hamda
bartaraf qilib bo’lmas xatoliklar ham funktsiya
qiymatining aniq qismi deb xisoblangan bo’ladi. Keltirilgan muloxazalar
interpolyatsiya usuli kamchiliklarini namoyon qilayapti. Bu kamchiliklardan xoli
usul yaratish zarurati paydo bo’ladi. Yana bir muloxaza tabiiy yoki texnik
jarayonlarda uchraydigan bog’lanishlar aksariyat xolda sodda ko’rinishga ega
bo’lib biz ham ana shu tabiiy soddalikka intilishimiz kerak.
bo’lsa
darajali interpolyatsion ko’phad tuzish mumkin ekan deb
50
berilib ketish keragi yo’q ekan. Sababi,
ko’rinishdagi bog’lanish qanday
jarayonda bo’lishi mumkinq Tabiatda ham, texnikada ham uchraydigan bog’lanish
modellari, Nyuton qonunlari, Om qonuni, Guk qonuni barchasi sodda, chiziqli
ko’rinishga ega. Biz topmoqchi bo’lgan bog’lanish modeli ham sodda bo’lsa kerak
degan umid va ishonch hamshunga mos usul tanlashni talab qiladi.
Eng kichik kvadratlar usuli
…
…
Jadval ko’rinishida berilgan x va u o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanishni k-
darajali ko’phad ko’rinishida izlaymiz.
(8.1)
Bu erda
bo’lib avvalgidek jadval qiymatlarga teng bo’lishligini talab
qilishga imkoniyat bo’lmas ekan. Shuning uchun (8.1) ko’pxadning nuqtalardagi
qiymatlari
lar
qiymatlariga iloji boricha yaqin bo’lishini talab qilamiz.
Bu talab esabizga
koeffitsentlarni aniqlash uchun shartlarni
beradi. Buning uchun yig’ma xatolikni hisoblaymiz.
(8.2)
Biz
shartga mos keladigan
larni topishimiz kerak.
Ekstremum shartlariga ko’ra, biror nuqtada ekstremumga erishsa bu nuqtada
barcha birinchi tartibli xususiy xosilalar nolga teng bo’lishi kerak.(8.2) tenglikdan
hosila olib
2 ga bo’lib yuborsak va ma’lumlarni o’ng tarafga o’tkazsak, quyidagi
ko’rinishdagi sistema hosil bo’ladi.
51
(8.3)
(8.3) sistema (kQ1) ta noma’lumli (kQ1) ta chiziqli algebraik tenlamalar sistemasi
bo’lib, uning koeffitsentlarini
deb belgilasak (8.3) sistema quyidagi qo’rinishda yozilishi mumkin.
(8.4)
(8.4) sistemaning determinanti Gramm determinanti deyiladiva noldan farqli
ekanligi isbotlangan. Demak (8.4) sistema doimo echimga ega. Ayrim xususiy
xollarn ko’ramiz.
Chiziqli bog’lanish modelini tuzish.
bo’lgan xolda approksimatsiyalovchi ko’pxad
ko’rinishini oladi. Uning uchun (8.4) sistema
yoki
ko’rinishini oladi. Bu sistemadan
larni topib chiziqli bog’lanish modeli, ya’ni
chiziqli funktsiyani topamiz. Bu funktsiyaning jadval funktsiya bilan farqlari
larni hisoblaymiz. Bu farqlar qanchalik kichik bo’lsa, tanlangan model shunchalik
o’rinli bo’lishga haqli, ya’ni to’g’ri deyishimiz mumkin ekan. Bu farqlar katta
bo’lib ketsa, chiziqli model mos emas ekan degan xulosaga kelamiz va 2- yoki 3-
darajali modellarga o’tamiz.
EKKU bo’yicha xatolikni baxolashda yig’ma xarakteristika, ya’ni
52
olinadi. Xulosa aynan shu
qiymatiga qarab chiqariladi. Amaliyotda Fisher
kriteriysi degan kriteriyga xam rioya qilishadi. Uning ma’nosini quyidagicha
ifodalash mumkin. Xisob kitoblarga ko’ra
xolat kuzatilsa
eng maqbul variant
darajali ko’phad ekan deb
ko’phadda to’xtaladi.
EKKU ning yana bir avzal tarafi, u jadval qiymatlaridagi sistematik xatolarni
silliqlash, xattoki tasodifiy xatolarni payqash va aniqlash imkoniyatini berar ekan.
Buni quyidagicha ifodalash mumkin. Barcha
larni xisoblaymiz.
Shunda qaysidir
qolganlaridan bir necha barobar ortiq chiqqani ko’rilsa, aynan
shu nuqtada, qiymatida, o’lchash vositalarining nosozligi, yoki kuzatuvchining
e’tiborsizligi tufayli tasodifiy xatolikka yo’l qo’yilgan bo’lishi mumkin degan
xulosaga kelamiz. Bu xolatdan chiqish uchun jadvaldan aynan shu qiymatni
chiqarib tashlab qaytadan tuzatilgan modelni tuzishni tavsiya qilish mumkin ekan.
Ortiqcha izoxsiz kvadratik model tuzish jarayonini xam ifodalash mumkin.
Bu erda noma’lum koeffitsentlar
larni aniqlash uchun
ko’rinishdagi sistema hosil bo’ladi. Bu sistemadan
koeffitsentlarni aniqlab
kvadratik bog’lanish modelini topishimiz mumkin.
Amaliy misol sifatida chiziqli bog’lanish modelini topish, jadvalda bo’lishi
mumkin bo’lgan tasodifiy xatoni aniqlash hamda bu qiymatni jadvaldan chiqarib
tashlab tuzatilgan modelni aniqlash jarayonini quyidagi misolda namoyish qilamiz.
Qulaylik uchun yagona jadvalda boshlang’ich
qiymatlar va chiziqli
model tuzish uchun kerak bo’ladigan barcha qiymatlarni kiritilgan. Shuningdek
53
jadvalda aniqlangan chiziqli model qiymatlari
, uning xatoligi
qiymatlar xam xisoblangan.
| 