38
Bu talabni barcha nuqtalar uchun yoyib yozsak, noma’lum
koeffitsentlar
larni aniqlash uchun quyidagi sistemani xosil qilamiz.
(6.2)
Bu sistema
ta noma’lumli
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
bo’lib uning determinanti
interpolyatsiyalash tugunlari turli bo’lgan xolda noldan farqli
ekanligi isbotlangan. Demak (6.2) sistema echimi mavjud va yagona bo’ladi.
Uning
echimi
qiymatlarini (6.1) formulaga qo’yilsa izlanayotgan
interpolyatsion ko’phadni hosil qilamiz.
Interpolyatsion ko’phad tuzishning original usuli Lagranj tomonidan kashf
qilingan. Interpolyatsion ko’pxadni (6.1) ko’rinishda emas
(6.3)
ko’rinishda izlaymiz. Bu erda lar funktsiyaning jadval qiymatlari
lar esa
xar biri
darajali ko’pxad. U xolda (6.3) ifoda xam
darajali ko’pxad bo’ladi.
ko’pxadlarni esa
shartga ko’ra aniqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda
ildizlari
bo’lgan
darajali ko’phad bo’lar ekan.
Demak uni
ko’rinishda ifodalash
mumkin.
shartga ko’ra esa
topiladi. Bu ifodalarni (6.3) formulaga qo’yilsa
(6.4)
39
ko’rinishdagi ko’phadni hosil qilamiz. (6.4) ko’phad tengmas oraliqlar uchun
Lagranj interpolyatsion ko’phadi deyiladi.
Lagranj interpolyatsion ko’phadini tuzishni quyidagi misolda ko’rib
chiqamiz.
-1
0
1
2
5
3
5
17
Jadval bilan berilgan funktsiya uchun Lagranj interpolyatsion ko’phadi
tuzilsin deyilgan bo’lsa,(6.4) formula bo’yicha quyidagiko’phadnihosil qilamiz.
Bu erda
Demak
berilgan masala echimi bo’lar ekan. Bevosita
tekshirish bilan bu ko’phad jadvalga to’la mosligini ko’ramiz.
Interpolyatsion ko’phadning qoldiq hadi
Interpolyatsion ko’phadning qoldiq hadi,
yoki xatoligi
deyiladi. Shartga ko’ra barcha
nuqtalarda
bo’ladi.
Shuning uchun uni
(6.5)
Ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lar ekan. Bu erda
Roll teoremasi
bo’yicha kelib chiqadigan nuqta. Agar
xosilalar chegaralangan bo’lsa,
ortgan sari xatolik nolga intilib borishi ko’rinadi.
Agar
nuqtalar teng oraliqlar bo’yicha joylashgan bo’lsa, ya’ni
40
formulaga
muvofiq
kelsa,Lagranj
interpolyatsion
ko’pxadi ko’rinishini
soddalashtirish mumkin bo’lar ekan.
Haqiqatdan xam
formula
bo’yicha yangi o’zgaruvchi
t ga o’tadigan bo’lsak va
munosabatlarni e’tiborga olsak yangi
t o’zgaruvchilarda (6.4) ko’pxad quyidagi
ko’rinishni oladi.
(6.6)
(6.6) formula teng oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion ko’pxadi deyiladi.
Uning qulayligi, (6.6) formulada qiymatlar umuman qatnashmaydi va (6.4)
ga qaraganda soddaligi va universalligi bor. Bu almashtirish(6.5) xatolik
formulasiga qo’yilsa xatolik tartibi bo’yicha
bo’lishini ko’ramiz.
