22
(4.2) tenglamani esa
ko’rinishda ifodalab berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama xosil qilish mumkin.
Berilgan tenglamalar aniq yechimni topish mumkin bo’lmagan xolda
taqribiy yechimni topiladi. (4.1) tenglama xaqida gapiradigan bo’lsak, biror
nuqtada
tenglik o’rinli bo’lsa,
qiymat (4.1) tenglama yechimi
deyiladi. U xolda
shartni qanoatlantiruvchi istalgan x qiymat (4.1)
tenglamaning taqribiy yechimi deb ataladi va uning aniq echimdan uzoqligi uning
aniqligi deyiladi. Demak
bo’lgan ixtiyoriy qiymat tenglamaning q
aniqlikdagi yechimi deb qaralishi mumkin.
Avvalgi ma'ruzalarda tenglama ildizlarini ajratish qoida va usullari xaqida
to’xtaldik. Bu yerda esa [a,b] oraliqda (4.1) tenglamaning yagona ildizi mavjud
ekanligi ma'lum, shu ildizni topish masalasi bilan shuqullanamiz.
Avvalo
chiziqli fazo, norma, akslantirish tushunchalari xaqida to’xtalamiz.
Agar biror x elementlar to’plami X da xar bir elementi uchun
musbat son mos
qo’yilgan bo’lib u quyidagi xossalarga ega bo’lsa
(4.3)
x normalangan chiziqli fazo deyiladi.
Biz bu yerda X to’plam sifatida xaqiqiy sonlar to’plamini qaraydigan
bo’lsak
norma sifatida x ning absolyut qiymatini qabul qilishimiz mumkin.
Norma shartlari barchasi bajariladi.
Agar ma'lum qoidaga ko’ra ixtiyoriy
uchun
ni aniqlash qoidasi
berilgan bo’lsa uning qisqacha
(4.4)
deb belgilashimiz mumkin. X-to’plam moxiyati xamda
funksional
ta'rifiga boqlanmagan xolda muxim tushuncha va qisqartma akslantirish ta'rifiga
o’tamiz.
23
Agar X to’plamda (4.3) shartlarga ko’ra norma aniqlangan, xamda ixtiyoriy
uchun
formula bo’yicha aniqlangan
mavjud bo’lsa
formula x ni o’z o’ziga akslantirish deyiladi.
Agar
lar uchun
(4.5)
bo’lib
tengsizlik bajarilsa
akslantirish qisqartma akslantirish deyiladi. Bu yerda
ga,
ga
akslantirilgan bo’lsa, ya'ni
lar
larning tasviri desak, tasvirlar orasidan
masofa originallar orasidagi masofadan yaqinroq (qisqaroq) bo’ladi deganini
bildiradi. (4.5) shartlar bilan aniqlangan qisqartma akslantirish
tushunchasi juda
ko’plab matematika bo’limlarida aynan shu tarzdagi xossasi bo’yicha tadbiq
qilinadi. Bunga o’zimiz xam guvox bo’lamiz.
Algebraik tenglamalarni taqribiy yechish usullari aynan shu prinsip asosida
qurilgan. Xususan (4.1) tenglama uchun oddiy interasiya usuli qaqida to’xtalamiz.
Agar (a,b) oraliqda (4.1) tenglama yagona ildiz mavjud bo’lib, shu oraliqda (4.1)
tenglik qisqartma akslantirish shartini qanoatlantirsa, ya'ni
uchun
bo’lsa,
olib navbatdagi qiymatlarni
formulalar bilan xisoblansa
ketma-ketlik
da tenglama ildiziga intiladi. Xaqiqatdan xam
Tenglamalarni ayirsak
(4.6)
Rekkurent tengsizlikni hosil qilamiz uning o’ng tarafiga yana (4.6) ning o’zini
tatbiq qilsak
hosil bo’ladi va (4.6) tengsizlik
ko’rinishini oladi. Bu jarayonni marta takrorlasak
24
tengsizlik xosil bo’ladi. Undan esa
bo’lganligi uchun
ekanligi
kelib chiqadi va
bo’lganligi uchun
bo’lsa
ya’ni
tenglama ildizi bo’lishi kelib chiqadi.
(4.1) tenglamaga oddiy iteratsiya usulini tadbiq qilish mumkin bo’lishi uchun etarli
shart
bo’lishi kerak ekan. Buni tekshirish esa unchalik qiyin emas.
Quyidagi misolni qo’ramiz.
Tenglama ildizi
ekanligi aniq.
Biz bu erda yagona ildizi mavjud bo’lgan oraliq sifatida (1;5) oraliqni
olishimiz mumkin. Bu misolda
bo’lgani uchun
bo’lib
da
ekanligi ko’rinib turibdi. Demak bu tenglmamaga
oddiy iteratsiya usulini tadbiq qilish mumkin.
deb olib keyingi qiymatlarni
formula
bo’yicha
xisoblaymiz.
Bund
a
qiymatlar xosil bo’ladi va ular aniq ildiz 4 ga intilayotgani ko’rinib turibdi.
ESLATMA:
shart bajarilmagan xolda
bu usulni aslo tadbiq qilib
bo’lmaydi.
Lekin ma’lum almashtirishlar yordamida berilgan tenglamani qisqartma
akslantirishlar shartiga mos ekvivalent tenglamaga almashtirish mumkin bo’lar
ekan. Biz bu erda bu usullardan ba’zilarini ko’rib o’tamiz.
tenglamaning
oraliqda yagona ildizi mavjud bo’lsin, ya’ni
Vatarlar usuli.
Funktsiya grafigi asosida usul moxiyatini va algoritmini ifodalaymiz.
y
