5-MA’RUZA.
Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini echishning aniq va taqribiy
usullari. Oddiy iteratsiya va Zaydel usullari. Ularning yaqinlashish shartlari.
Sistemalarning shartlanganligi va ta’sirchanligi.
Reja:
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Ifodalash usullari.
2. Sistemalarni echishning aniq usullari.
3. Oddiy iteratsiya usuli. Yaqinlashish sharti.
4. Zaydel usuli. Yaqinlashish sharti.
5. Sistemalar ta’sirchanligini baxolash usullari.
Asosiy ibora va atamalar: matritsa, vektor, norma, determinant,iteratsiya,
ta’sirchanlik.
Ma’lumki, noma’lumli tachiziqli algebraik tenglamalar sistemasi umumiy
xolda
(5.1)
ko’rinishda ifodalanadi. Berilgan
va
qiymatlariga ko’ra (5.1) sistema
tenglamalarining barchasini qanoatlantiruvchi
qiymatlar to’plamini
topish talab qilinadi. Biz bu erda faqatnoma’lumlar va tenglamalar soni bir xil
bo’lgan xol bilan shug’ullanamiz. Amaliyotda boshqa xollar xambo’lishi mumkin.
Agar (5.1) sistema koeffitsentlaridan tuzilgankvadrat sonlar jadvalini
kvadrat matritsa, noma’lumlar va tenglama o’ng taraflarini ustun matritsa
32
deb qaralsa (5.1) sistemani matritsa ko’rinishida
(5.2)
ifodalash mumkin. (5.1); (5.2) sistemalarni echishda aniq usullar: noma’lumlarni
yo’qotish, Kramer usullari yoki teskari matritsani topish mumkin bo’lsa matritsa
usullarini tadbiq qilish mumkin. Faqat ortgan sari bu usullarni tadbiq qilish
murakkablashib, samaradorligikamayib borverar ekan. Shuning uchun nisbatan
samarador bo’lgan taqribiy usullardan foydalanish ma’qul bo’lar ekan.
Biz bu erda umumiy g’oya va ayrimtaqribiy usullar bilan tanishib o’tamiz.
Buning uchun A matritsani 3 ta:dioganal, yuqori uchburchak, quyi uchburchak
qismlari yig’indisi sifatida ifodalaymiz.
Bu erda
dioganal, V-quyi uchburchak, S –yuqori uchburchak shaklidagi
matritsalar.
bo’lgani uchun sistemani
(5.3)
ko’rinishda ifodalash mumkin.(5.3) tenglamadan
tenglik hosil bo’ladi. Uni
ga ko’paytirib yuborsak
(5.4)
33
tenglama hosil qilamiz. (5.4) tenglama taqribiy usullar uchun asos bo’lib hizmat
qilar ekan. Bunda sistemaning echimi uchun boshlang’ich yaqinlashish
ma’lum bo’lsa
topishda (5.4)dan kelib chiqadigan
(5.5)
Formula kelib chiqadi. (5.5) formula qisqartmasi akslantirish bo’lsa bu formula
bo’yicha xisoblangan
ketma-ketlik sistema echimga intilar ekan. (5.50
tenglikdan undan kelib chiqadigan
Tenglikni ayirsak
(5.6)
Formulani xosil qilamiz. Bu formula qisqartma akslantirish bo’lish shartini keltirib
chiqaramiz. Norma sifatida
Ma’lum normalardan foydalanamiz. Bu erda
A matritsa xos sonlari(5.6)
tenglik ikki tarafidan norma olsak va norma xossalaridan foydalansak
Tengsizlik kelib chiqadi. Bunda qisqartma akslantirish, ya’ni usul yaqinlashish
sharti sifatida
shartni belgilasabo’lar ekan. Bu shartning bajarilishi
etarli mezoni sifatida A-matritsa dioganal elementlari modul bo’yicha qolgan
elementlari modullari yig’indisidan yuqori bo’lishi, ya’ni
shartdan foydalanish mumkin ekan.
Zaydel usulida (5.3) tenglik o’zgacha guruxlanadi, ya’ni
(5.7)
34
Bu usulning yaqinlashish sharti sifatida
shartni keltirish mumkin. Bu erda ham etarli shart sifatida A
matritsa dioganal elementlari modul bo’yicha o’zi joylashgan qatordagi qolgan
elementlari modullari yig’indisidan katta bo’lishini talab qilish mumkin.
Bu usullar moxiyati va algoritmini namoyish qilish uchun quyidagi misolni
qaraymiz.
Bu sistema uchun oddiy iteratsiya va Zeydel usullari yaqinlashish shartlari
bajariladi, ya’ni dioganal elementlar ancha katta.
Oddiy iteratsiya usuli uchun
(5.8)
formulalar hosil bo’ladi. Odatda
deb olinadi. U xolda
formulalarga ko’ra
kelib chiqadi. Keyingi qadamda bu qiymatlar
asosida
Uchinchi qadam esa
qiymatlar xosil bo’ladi. Bu qiymatlar sistema aniq echimlari
qiymatlarga intilayotganini ko’ramiz.
Zeydel usulining oddiy iteratsiyadan yagona farqi hisoblangan noma’lum
qiymatlari bevosita tadbiq qilib borilishidan iborat. Xususan yuqoridagi misolda
Zeydel usulini tadbiq qilsak (5.8) formulalar quyidagicha o’zgarar ekan.
(5.9)
35
Keltirilgan muloxazalar va misol asosida usullarning umumiy xisoblash
formulalarini ifodalash mumkin. Agar tadbiq qilish shartlari bajarilgan bo’lsa(5.1)
sistema uchun oddiy iteratsiya usuli xisoblash formulalari
(5.10)
Zaydel usuli uchun esa
(5.11)
Ko’rinishni oladi. (5.10)va (5.11) formulalar bo’yicha kompyuterda xisoblash
dasturini tuzish va barcha Hisoblashni kompyuterda bajarish mumkin.
Hisoblashlarni yakunlash sharti sifatida esa
shartni olish mumkin. Bu erda
tanlab olingan aniqlik.
Chiziqli
algebraik
tenglamalar
sistemasiningyaxshi
yoki
yomon
shartlanganligi va ta’sirchanligi.
Agar (5.1) sistemada o’ng tarafi
ning kichik o’zgarishlariga
echimning ham oz o’zgarishlari mos kelsa sistema yaxshi shartlangan deyiladi. Bu
sifatlar asosan sistemaning asosiy matritsasi A va uning normalari bilan bog’liq.
Biz bu erda asosan masalaning amaliy taraflari va belgilari bilan shug’ullanamiz.
Agar (5.1) sistema uchun
bo’lib, ya’ni sistema yagona echimga ega bo’lib
juda kichik bo’lmasa sistema yaxshi shartlangan deyiladi. Bu erda matritsa
normasi sifatida ma’lum normalardan birortasini olish mumkin. Bu erda
xos sonlarning modul bo’yicha eng kattasi qiymatini olamiz.
Yomon shartlangan sistema va uning oqibatlarini quyidagi misolda namoyish
qilamiz.
36
Sistema aniq echimlari
ekanligi ko’rinib turibdi. Xos sonlari esa
Tenglamadan topiladi. Bundan barcha xos sonlari bir xil
kichik va
xam kichik ekanligini ko’ramiz. Demak
sistema yomon shartlangan. Buning oqibatlarini o’rganish uchun sistema oxirgi
tenglamasi o’ng tarafini ozgina, ya’ni 0,001ga o’zgartirilsa nima bo’lishini
ko’raylik. Sistema quyidagi ko’rinishni oladi.
Bu sistema echimlarini oxirgi tenglamasidan boshlab topadigan bo’lsak,
Bu echimlar sistemaning aniq echimi
bilan taqqoslabbo’lmas
darajada farq qiladi.Bundan ko’rinadiki, sistema yomon shartlangan bo’lsa sistema
juda ta’sirchan bo’lib, arzimagan xatolik xam natijani butunlay ishonchsiz darajaga
olib kelishi mumkin. Bunday xollarda xatto yaxlitlash xatoliklari ham havfli qadam
bo’lishi mumkinligi ko’rinib turibdi.
| 