41
bo’lgan interpolyatsionko’phad Nyuton tomonidan kashf qilingan.
Biz bu erda
bevosita ko’pxadni tuzish bosqichlari va jarayonini keltiramiz. Avvalo,bo’lingan
ayirmalar
tushunchasini
kiritamiz.
Funktsiya
qiymatlar
jadvali
berilgan bo’lsa birinchi tartibli bo’lingan ayirmalar
(7.1)
Formulalar bo’yicha xisoblanadi.
ta birinchi
tartibli bo’linganayirmalar topilgach, ikkinchi tartibli bo’lingan ayirmalar
(7.2)
Formula bo’yicha kiritiladi. (7.1) va (7.2) formulalar shu tartibda davom
ettirilsa, 3-,4-,... tartibli bo’lingan ayirmalar ham topiladi.
Umumiy formula
sifatida agar
k-tartibli bo’lingan ayirmalar ma’lum bo’lsa
kQ1 –tatibli bo’lingan
ayirmalar
(7.3)
Formula bo’yicha topiladi. Bo’lingan ayirmalar quyidagi jadval ko’rinishda
to’ldiriladi.
1-tartibli
bo’lgan
ayirma
2-
tartibli
bo’lgan
ayirma
3-
tartibli
bo’lgan
ayirma
........
......
n-tartibli
bo’lgan
ayirma
……
..
……
..
42
…
…
…….
……..
………
………
………
………
……….
……..
Jadvaldan ko’rinadiki,1-tartibli bo’lingan ayirmalar soni ta , ya’ni qiymatlar
sonidan
bitta kam, 2-tartibli ayirmalar soni
bo’lar ekan. Tartibi ortgan sari
bo’lingan ayirmalar soni bittadan kamayib boradi. Shu tariqa tartibli bo’lingan
ayirma bitta bo’lar ekan. Jadval esa uchburchak ko’rinishda bo’ladi.
Bu jadvalni
yuqori
qismida,
jadvalda
tagiga
chizilgan,
Nyuton
interpolyatsion
ko’phadikoeffitsentlari hosil bo’lar ekan. Ular asosida Nyuton interpolyatsion
ko’phadi quyidagicha ifodalanar ekan.
(7.4)
Keltirilgan qoidani quyidagi misolda ko’ramiz.
1-tartibli
bo’lgan
ayirma
2-
tartibli
bo’lgan ayirma
3-
tartibli
bo’lgan
ayirma
4-
tartibli
bo’lgan
ayirma
-1
2
0
3
1
3
43
2
23
3
105
Bu jadval asosida (7.4) formulaga ko’ra Nyuton interpolyatsion ko’phadini
tuzamiz.
Hosil bo’lgan ko’phad funktsiya qiymatlar jadvaliga to’la mos keladi.
Bu ko’phad asosida funktsiyaning istalgan nuqtadagi qiymatini topish mumkin.
Masalan
nuqtadagi qiymati so’ralgan bo’lsa
qiymatini topamiz.
Nyuton va Lagranj interpolyatsion ko’phadlarii aslida bitta masala echimi
bo’lganligi uchun ular faqat tuzilish usulidagina farq qilinadi, aslida esa ular aynan
bir xil chiqadi. Shuning uchun topilgan qiymat xatoligini baxolashda xam Lagranj
ko’pxadi qoldiq hadi formulasidan foydalanish mumkin. Bizdagi misolda soddalik
uchun
olingan, xatolik tartibi
qoida unchalik yaxshi natija emas. Asida
xatolik
Tengsizlik bo’yicha baxolansa xamda
chegaralangan desak xatolik tartibi
uchun
munosabatdan foydalansa xam bo’ladi.
Nyuton interpolyatsion ko’phadining Lagranj interpolyatsion ko’phadini
avzal tarafi jadvalga biror yangi ma’lumot qo’shilsa ko’phadga
yangi bitta had
44
qo’shilar ekan xolos. Soddalik yuqoridagi misolda bu xolatni taxlil qilamiz. Agar
jadvalda faqat
qiymatlargina bo’lsa
kelib chiqqan bo’lar edi. Agar
dagi ma’lumot xam qo’shilsa
ko’phad xosil bo’ladi. Keltirilgan muloxazalar o’rinli ekanligini ko’ramiz.
Eslatma:
Interpolyatsion
ko’phadlar
funktsiyaning
nuqtalardagi qiymatlari asosida tuziladi. Bu ko’phad xatoligi
tartibda
bo’ladi deyiladi. Faqat bu xulosa
oraliqdagina o’rinli.
Bu oraliqdan
tashqaridagi qiymatlar uchun hech qanday xulosa qilib bo’lmaydi. Bu xolat
ekstrapolyatsiya masalasi bo’lib uning echimini topishning ishonarli usullari yo’q.
Interpolyatsiya masalasida yana bir usulni ko’ramiz. Teng oraliqlar uchun
Nyuton interpolyatsion ko’pxadi. Agar interpolyatsiyalash
tugunlari bir xil
masofada joylashgan bo’lsa, ya’ni
munosabat o’rinli
bo’lsa,
almashtirish kiritiladi, xamda funktsiya qiymatlar jadvali
asosida chekli ayirmalar jadvali tuziladi. Birinchi tartibli chekli ayirmalar
(7.5)
Birinchi tartibli chekli ayirmalar asosida 2-tartibli chekli ayirmalar hisoblanadi.
(7.6)
Xuddi shunday tartibda 3-,4-, tartibli chekli ayirmalar aniqlanadi. Hisoblash tartibi
va jadval ko’rinishi quyida aks ettirilgan.
1-tartibli
2-tartibli
