3-MA’RUZA
Mavzu: "Algebraik tenglamalar ildizlarini ajratish. Lobachevskiy usuli."
Reja:
1. Tenglama va uning ildizlari.
2. Tenglama yagona ildizi joylashgan oraliq belgilari.
13
3. Ko’pqadlar ildizlari qaqida algebraning asosiy teoremasi.
4. Algebraik ko’pqadlar qaqiqiy ildizlarini ajratishda Lobachevskiy usuli.
Asosiy ibora va atamalar: tenglama, tenglama ildizi, funksiya monotonlik
oraliqlari, ildizlarni ajratish.
Matematikada
tenglama
deb
x
o’zgaruvchining
faqat
ayrim
qiymatlaridangina bajariladigan
(3.1)
ko’rinishidagi tenglik tenglama deyiladi. xning (3.1) tenglik bajariladigan
qiymatlari tenglamaning ildizlari deyiladi. Odatda tenglama tushunchasi bilan
funksiya tushunchasi boqliq tarzda taqlil qilinadi. Xususan (3.1) tenglama
tarkibidagi
ifodani funksiya deb qaralsa,
funksiyani qosil qilamiz. Bu funksiya grafigini sxematik tarzda 3-rasmda
ifodalangan.
(3.1) tenglama ildizlari
funksiyaning nolga teng bo’lgan nuqtalari abssissalari
bo’lar ekan. Xususan
funksiyaning grafigi 3−rasmdagi ko’rinishga ega
bo’lsa,
nuqtalarda funksiya qiymatlari nol, grafigi esa ox o’qi bilan
y
y=f(x)
x
1
x
2
a
3
x
4
x
0 x
3
b
3
x
5
3-rasm
14
kesishishini ko’ramiz. Demak bu xolda
qiymatlar
tenglama ildizlari bo’lar ekan.
Shu o’rinda 3-rasmdagi geometrik tasvirga asoslangan va funksiya
differensial xususiyatlariga suyangan xolda quyidagi xolatni aks ettirish mumkin
ekan. Agar biror
oraliqda
funksiya uzluksiz bo’lib
bo’lsa,
oraliqda
tenglamaning kamida bitta ildizi bo’ladi. Chunki
bu xolda
va
nuqtalar ox o’qining turli tarafida bo’ladi va
funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun uning grafigi A nuqtada B nuqtaga yetish
uchun albatta ox o’qini kesib o’tishi kerak bo’ladi.ox o’qini kesib o’tgan nuqtani
abssissasi esa
tenglamaning ildizi bo’ladi. Demak tenglama ildizini
topish uchun eng avvalo
shartni qanoatlantiruvchi
oraliqni
topish kerak ekan. Agar shu
oraliqda funksiyamiz monoton (o’suvchi yoki
kamayuvchi) bo’lsa, ildiz faqat bitta bo’ladi. Biz bu yerda jiddiy isbotlar bilan
shuqullanmaymiz, lekin ishonchli izoxlar bilan amaliy qoidalar keltirib chiqaramiz.
Yuqorida keltirilgan muloxazalar asosida quyidagi qoidani ifodalaymiz. Agar biror
oraliqda
uzluksiz bo’lib, birinchi tartibli uzluksiz qosilaga ega
bo’lsa va
da ishorasi o’zgarmaydi (3.2)
shartlar bajarilsa,
oraliqda
tenglama yagona xaqiqiy ildizga ega
bo’ladi.
Xususan 3-rasmda ifodalangan funksiya grafigidan ko’rinadiki
oraliqda (3.2) shartlar bajariladi. Bu yerda
va
ekanligi ko’rinib turibdi. Chunki
oraliqda funksiya o’suvchi, demak
bo’ladi. Shu oraliqda yagona ildiz mavjud ekanligi qam ko’rinib
turibdi.
Albatta amaliyotda 3-rasm singari tayyor ko’rgazma doim bo’lavermaydi.
Shuning uchun asosiy mezon sifatida (3.2) shartlarni ishlatiladi.
15
Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra xar qanday n- darajali ko’pxadning
roppa rosa n ta ildizi mavjud. Faqat bu ildizlarni topish formulalari 2-, 3-
darajali tenglamalar uchungina mavjud. 4- va undan yuqori darajali tenglamalar
uchun esa, xattoki umumiy yechim formulasini topish mumkin emasligiini qam
isbotlangan. Lekin amaliyotda bunday tenglamalarni yechishga zarurat uchrab
turadi. Shuning uchun biz bu yerda
(3.3)
ko’rinishidagi tenglamalar qaqida to’xtalamiz. Yuqorida aytilganidek (3.3)
tenglamaning roppa rosa n ta ildizi mavjud ekanligi isbotlangan. Abatta, ildizlar
orasida kompleks ildizlar qam bo’lishi mumkin. Asosiy masala shu ildizlar
joylashgan oraliqlarni ajratish. Keyingi ma'ruzalarda ko’riladi, agar (3.2) shart
bajarilgan, bo’lsa, yagona ildiz bo’lgan oraliqda ildiz qiymatini istalgan aniqlikda
topish imkoniyatini beradigan usullar mavjud.
(3.3) tenglama va uning ildizlari bilan boqliq ayrim munosabatlarni esga
olamiz. Avvalo barcha ildizlar xaqiqiy va turli bo’lgan xolda to’xtalamiz. Agar
qiymatlar (3.3) tenglama ildizlari bo’lsa,
(3.4)
tenglik o’rinli bo’ladi. (3.4) tenglikdan kelib chiqadigan umumlashgan Vietta
teoremasini ifodalaymiz.
(3.5)
(3.5) tengliklar tenglama ildizlari va koeffisentlari orasidagi munosabatlarni
ifodalaydi.
Ko’pqadlar ildizlarini ajratishga namuna sifatida quyidagi misolni ko’ramiz.
An'anaviy usullarga ko’ra funksiyani tekshiramiz va sxematik tarzda
grafigini chizamiz.
16
Shartga ko’ra
stasionar nuqtalari topiladi. Bu
nuqtalar sonlar o’qini to’rtta intervalga ajratadi. Bu intervallarda birinchi tartibli
xosila
ishorasiga qarab funksiyaning o’sish, kamayish oraliqlari topiladi.
funksiya
oraliqda kamayuvchi,
da
o’suvchi bo’lishini ko’ramiz.
deb
ildizlar topiladi
va
ishorasiga qarab, funksiya grafigi
oraliqda botiq,
oraliqda esa qavariq ekanligini ko’ramiz. Bunga ko’ra
funksiya
nuqtalarda minimum;
da esa maksimumga
erishishini ko’ramiz. Bevosita qisoblashlar orqali
ekanligini ko’ramiz. Bu qiymatlar funksiya grafigining ekstremumlari bo’lib,
grafigini chizishda asosiy rol o’ynaydi. Koordinat tekisligida bu nuqtalarni
belgilaymiz va funksiya o’sish, kamayish, botiq, qavariqlik xususiyatlariga ko’ra
grafigini
sxematik
tarzda
ifodalaymiz.
funksiya
grafigi
va
xususiyatlaridan kelib chiqqan xolda
tenglamaning to’rtta ildizlari bo’lib
bu ildizlar joylashgan oraliqlar sifatida
oraliqlarni
ko’rsatish mumkin. Bu usul, tabiiy, universal va ishonchli bo’lish bilan ko’p
mexnat talab qiladi, xamda bu jarayonni avtomatlashtirish ancha mushkul.
Shuning uchun bu xolda Lobagevskiy qoyasi va usulidan foydalanish mumkin.
(3.3) tenglamada x o’rniga -x ni qo’yadigan bo’lsak xosil bo’lgan tenglama
ildizlari
lar
bo’ladi.
Tenglama
esa
ko’rinishinioladi.
Uning
ildizlari orqaliifodalasak,
| 