(X = COt — k x
Fazaning qiymati vaqt o ‘tishi bilan fazoda и tezlik bilan o ‘zgaradi.
Bu tezlikni hosil qilish maqsadida, avvalgi tenglik vaqt bo ‘yicha
differensiallanadi va
u = ®
(1-44)
k
tenglik hosil b o ia d i. Bu tezlik fa za v iy tezlik deyiladi.
Agarda
v
tezlikni к ga b o g iiq desak, demak to iq in uzunligiga
(A = 2;x!k)
ham b o g iiq b o ia d i, bu holda to iq in dispersiyasi o‘rinlidir.
Elektromagnit to iq in lard an farqli o ia ro q , de-Broyl to iq in la ri uchun
b o ‘sh fazoda ham dispersiya hodisasi mavjuddir.
N isbiylik nazariyasiga asosan
E = + J m lc
4
+ p
2
c
2
= mgc
2
+-~— + ...
(1-45)
2
m,,
и0- zarrachaning tinchlikdagi massasi. (1.45) ni (1.40) ga qo‘yilsa ,
m,,c2
p 2
ft) = —2— + — — + ...
ft
2
m,.fi
Ifoda hosil b o ia d i va p = /гк ekanini hisobga olsak,
=
(1-46)
Й
2
m
0
natijaga kelinadi, demak
v
=
o>lk
A' ning funksiyasi b o iib , dispersiya
mavjudligini isbotlaydi.
Endi to iq in harakati bilan zarracha harakati orasidagi bogianishni
keltirib chiqaraylik. Buning uchun to iq in paketi, yoki to iq in la r guruhi
ko ‘rib chiqiladi. Zarrachaning bu holatini impulslari bo ‘yicha o ‘zaro
kam farqlanuvchi
de-Broyl toiqinlarining y ig in d isi orqali hosil
qilinadi. Eng sodda b o ig a n bir o ich o v li to iq in paketining ifodasi
quyidagi k o ‘rinishga ega:
30
k+M
Ijf(x,t)= j С (к У ш~ь )с1к
(1.47)
к - А к
V
7
Bu ifodada y ig ‘ilgan to iq in la m in g impulslari o ‘zaro kam farqlanadi,
y a ’ni ^ - = ^ E .« i deb faraz qilinadi. (1.47) formulaga b o g iiq yana bir
Ko
Po
narsaga diqqat qilaylik, со
aslida к
ning funksiyasidir:
Пк2
o ) = -
2
m
M odomiki, M /*0« i d e b faraz qilinar ekan, unda bu taxmindan
foydalanib integralni soddalashtirishga o ‘tiladi. Ushbu maqsadda со
quyidagicha yoziladi:
_ h k 02
<
tik0( k - k
0) | Й /f
, 2 _
2m
m
2m
=(0o+%
/c_ * o )+ A (* _ * o);
m
2
m
ning bu k o 4rinishi uning к
atrofida yoyilgan Teylor qatoridir:
0
)
( k - k 0)+-
'd
2
(o'
k - k (l
d CO
Эк
m
Э
2co
Эк
ik - h
) 2
(1.48)
M
Quyidagiga e ’tibor beraylik: biz k o ‘rayotgan qatorda (k - k„) ning
iklcinchi darajali hadi uning birinchi darajali hadiga nisbatan ancha
kichik ekan:
О
2 Э/с
\k-k,
« 1 .
Shuning uchun, a ni ifodalashda (1.48) formuladagi dastlabki ikkita
had bilan cheklansak b o ia d i va quyidagi chiziqli ifoda olinadi:
ю=щ(к)+ ^ J k - k 0)
(1.49)
31
Agar (k-k 0)=£ kabi yangi o ‘zgaruvchi kiritsak, unda yr(x,t) quyidagi
ko ‘rinishda b o ‘ladi:
chunki
.p{i[rftf-for]} = expj« ы^ + \ ~ \ ( к - к „ )
1
- ( к а + ( k - k Q)).\
= exp i ia>J
— ik„x + i
£t — i£x [ =
I
dk
J
= exp {/ (йу - £0x)} exp |г
Г - x j va к = k0 + (k — k9),
dk = d(k-k0) = d£.
Dastlab £ b o ‘yicha oddiy integrallash natijasida
s i r
y 4 x , t ) = M k , j
da?
y d k }
{
da>л
A
p
\ t —x Nc\
_ ^ x ^y(ay-V)
(1.50)
t —x
ni olinadi. Sinus funksiya argumentidagi &k kichik b o ‘lganligi sababli,
c{x,t) funksiyani exp[/(ay-£„*)] funksiyaga nisbatan sekin o ‘zgaruvchi
funksiya deb aytish mumkin. Shuning uchun yixj) ni ©„chastotali va k,
to iq in soniga teng b o ig a n deyarli monoxromatik to iq in deb qarash
mumkin. Bunda c(x,r)toiqin amplitudasi. Uni batafsil o‘rganib
chiqaylik. c(x,t) quyidagi ko'rinishga ega.
c{x,t) =
2
Ak
bunda
a(x,t)--
sma(x,/)
a(x,t) ’
da>
X 1 d k U
A k.
M atemetika kursidan m aiu m k i sina/a funksiya a = 0 nuqtada
maksimum qiymatga erishadi, a = ±n da nolgacha tushadi, so‘ngra esa
tez
so‘nuvchi
tebranma funksiyaga
aylanadi.
Amplituda
d x j)
32
maksimum ga erishgan koordinata x0 ni aniqlaylik. Bu nuqtani to ‘Iqin
paketning markazi deb olaylik. T o ‘Iqin paketning markazi yuqorida
aytilganlarga binoan quyidagi shartdan topilishi kerak:
(chi'
dk />
dk
=0
Demak,
*<,=[ — ]?
kelib chiqadi. Bundan k o‘rinib turibdiki,
( d k J0
paketning markazi x o ‘qi b o ‘ylab doimiy tezlik bilan harakatlanadi. Bu
tezlik gruppaviy tezlik deb ataladi va
"
[ d k
J0
(1.51)
formula orqali aniqlanadi. (1.46) ga asoslanib vsr hisoblasak,
hk
I v = —
щ
hamda p = йк, p = m0« ni eslasak,
d
-zarracha tezligi,
IV =1)
(1.52)
degan ajoyib xulosaga kelinadi, y a ’ni de-Broyl to ‘lqinining vgr
gruppaviy tezligi zarrachaning d mexanik tezligiga teng b o ‘ladi.
Shunday qilib, to ‘lqin paketi ajoyib xususiyatlarga ega ekan: u klassik
zarracha kabi fazoviy cheklanishga ega b o ‘lgan tuzilma b o ‘lib, v = T
-
|
