0 =
4
^
^ 1 0 -3 1 )
|q(
(10.28) dagi birinchi integralni (10.29) bilan solishtirilsa,
T
f e '4'
J
>
СеЧГ
Л
'
;2
т
2
J' ~
J
V
=
j
r'
= q’ ’ 4 =
q; + q y + q;
(10.32)
304
natija kelib chiqadi. (10.28) dagi ikkinchi integral esa quyidagicha
hisoblanadi:
( 1 0 3 3 )
=
J
dv"/?(r”) ^ ~ e iqr'
dv/ ?{ r
)ещг.
W
|q|
Olingan (10.33) formulada integrallashni bajarish uchun qutb
koordinatalar sistemasiga o ‘tiladi, bunda Z-o‘qini q vektor bo‘yicha
yo‘naltiriladi. U holda,
d v = r 2 dr s i n6d6d( p,
qr =
qr
cos 0
bo‘ladi va
oo
К
2К
| d v p ( r ) e iv
= |
p
( r y - d r \ e >qr™esin9dQ
J
d(p
0
0
0
ni hosil qilish mumkin.
o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallash natijasida
2 л
ko‘paytma hosil bo‘ladi, л' = cos0 almashtirish bajarilishi natijasida
esa
I s i n q r
^ e ,4rmesin Q d e = \ e ullxdx = -
o
kelib chiqadi. Demak,
г
°r s i n( qr )
.
.
, ,
j d v p ( r ) e ' 4 = 4 ? r j ---- -— - p ( r ) - r ‘ dr
(10.34)
о
4 r
bo‘ladi. Hosil bo‘lgan ifodani (10.33) formulaga qo‘yilsa,
J :
integrating natijasi kelib chiqadi. Endi
(10.32) va
(10.33)
formulalami (10.28) qo'yilsa, / ( # ) uchun quyidagi natijani olish
mumkin:
m
=
(10.35)
J
4
ЖТ,2 q 4
{ q r
J
Agarda
a 1 = 4 k2sin2
__
2
ti
2
2
л,-’
2
6
4m2V2 . i в
q = 4k~sin — = ---- -— sin~
ekanligi eslansa va
305
F ( 6 ) = 4n\*' - ( ~ r }p
(i
r ) r 2dr
(10.36)
о
4r
belgilash kiritilsa, quyidagi oxirgi natijani olish mumkin:
/ ' H = - ~ r { z - F ( ^ ) } c o s e c 2^ .
(10.37)
2
mv'
2
Kiritilgan
F(e)
kattalik
atom formfaktori
deyiladi,
uning qiymati
esa elektron zaryadi zichligining taqsimoti bilan aniqlanadi va
elektronlarning burchaklar bo‘yicha sochilishini aniqlab beradi. Olingan
(10.37) formula yordamida
в
burchakka
E
energiyali
elektronlarning
differensial effektiv kesimini topishimiz mumkin, ya’ni
d o =
{ Z - F ( e ) f c o s e c A~ d n
(10.38)
Olingan formulani
yaqqol namoyon qilish uchun,
e p
- elektron
dastasi zaryadining zichligi to‘g ‘risida sodda taxmin yuritamiz. Avvalo,
r
p = p Be °
deb qabul qilinadi, bu yerda
a -
atomning radiusi. Umuman olganda,
atom neytral bo‘lganligi sababli
J
p d v = Z
bo‘ladi, demak
Z
P o ~ О
8
n a ~
bo‘ladi.
Shunday qilib,
Z
8
n a 3
ifoda kelib chiqadi. Endi
F ( 6 )
atom form faktorini hisoblashga o'tilishi
mumkin:
F ( # ) = 4 j r f p { r )
^ ^r 2dr = —
e 411 Sin£ • g ■ d £
y-l-
/■7J’
J
q r
2 a ‘q~
Bunda
qr = £,
belgilash kiritildi. Hosil bo‘lgan oxirgi integralni
hisoblash qiyinchilik tug‘dirmaydi:
306
_
i-
1
_
-
f i qa
S i n f
- £ - d £
=
— j
e~Va {eli
-
e * ) £ d £
■
^ 3 3
l a q
(l
+ q 2a 2f
Bundan
F (0 ) =
Z
Z
(1+ g V )
kelib chiqadi. Demak,
1 + 4 k 2 a 2 sin
(10.40)
d o ( Q ) =
eteZ
2nnr
1 + 4 к 2a 2Sin2 в
2
cos ec —dQ.
2
(10.41)
ifoda hosil boiadi.
Tezliklari katta zam chalar uchun
k a >
1 b o ia d i va (10.41) dagi
formulada ikkinchi hadni hisobga olmasak ham boiadi. U holda,
da(B)--
e,eZ Y
д в
2
mv~
cos
ec —dQ.
(10.42)
natija olinadi.
Klassik mexanikada olingan Rezerford formulasi hosil boidi. Bu
holda Rezerford formulasi Born yaqinlashish usuli orqali olingan.
Qiziqarli juhati shundan iboratki, agarda mazkur masalani aniq
yozganimizda, xuddi shu natijani olgan b o ia r edik. Darvoqe,
sochilishning effektiv kesimini aniq hisoblagan
vaqtimizda olingan
yechimda
Ь
Plank doimiysi qatnashmaydi. Demak, klassik fizika
hamda kvant mexanikasi tomonidan hisoblab chiqilgan natijalar bir-
biriga mos kelishi lozim.
10.4. Bir xil zarrachalar to‘qnashuvi
Ikkita bir xil zarrachaning to‘qnashgan holini ko‘rib chiqish
masalasi alohida ahamiyatga egadir. M aium ki,
kvant mexanikasida
zarrachalaming
aynan
o ‘xshashligi
ular
o‘rtasida
o ‘ziga
xos
almashinuvchi o ‘zaro ta’siming paydo boiishiga olib keladi. Sochilish
jarayonlarida
yuqorida qayd etilgan o ‘zaro ta’simi hisobga olish
307
zarurligi ham kelib chiqadi. Spinlari
j g a
teng boigan ikkita bir xil
zarracha, masalan, elektronlarning
to ‘qnashuvi ko‘rib chiqiladi. U
holda, sistemaning to‘la to iq in funksiyasini ko‘paytma ko'rinishda
yozish mumkin, uning birinchi funksiyasi koordinata yoki orbital,
ikkinchisi esa spin funksiyasi deb ataladi. Shredinger tenglamasi faqat
koordinata funksiyasinigina aniqlaydi, shu tufayli ikkita bir xil
zarrachalardan tashkil topgan sistema uchun zarrachalaming o'mini
almashtirishga nisbatan orbital to ‘lqin
funksiyasi simmetrik yoki
antisimmetrik bo‘lishi kerak. Agarda sistemaning to ia spini 5=0 bo‘lsa,
u holda orbital to ‘lqin funksiya simmetrik boiadi, agarda 5=1 b o lsa u
holda - antisimmetrik b oiishi kerak. Og‘irlik markazi bilan bogiangan
sanoq sistemasida zarrachalaming o‘mini almashtirish radius-vektor
yo‘nalishini teskarisiga o‘zgartirishga olib keladi, ya’ni r,= -r2. Lekin,
inersiya markazi tinch turgan koordinatalar
sistemasida
