|
Tashkent-2022 Mavzu; To’plamlarda ekvivalentlik qism to’plamlari. Ularga misollar Reja
|
| bet | 5/9 | | Sana | 22.11.2023 | | Hajmi | 462,58 Kb. | | #103139 |
Bog'liq Tashkent-2022 Mavzu; To’plamlarda ekvivalentlik qism to’plamlariSonli oraliq
|
Bеlgilanis hi
|
Tasvirlanishi
|
Nomlanishi
|
x/xR, a˂x˂b
|
(a, b)
|
|
Intеrval
|
x/xR, a≤x≤b
|
[a, b]
|
|
Kеsma
|
x/xR, a≤x˂b
|
[a, b)
|
|
Yarim intеrval yoki yarim kеsma
|
x/xR, a˂x≤b
|
(a, b]
|
|
Yarim intеrval
yoki yarim kеsma
|
x/xR, x ˃ a
|
(a:+∞)
|
|
Ochiq nur
|
x/xR, x ≥ a
|
[a:+∞)
|
|
Nur yoki yarim to‘g‘ri chiziq
|
x/xR, x ˂ a
|
(-∞: a)
|
|
Ochiq nur
|
x/xR, x ≤ a
|
(-∞: a]
|
|
Nur
|
Eyler-Venn diagrammalari. To‘plamlar orasidagi munosa- batlarni yaqqolroq qilish uchun, Eyler-Venn diagrammalaridan foydalaniladi. Bunda to‘plamlar doira, oval yoki biror yopiq soha
ko‘rinishida, universal to‘plam esa to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida tasvirlanadi. Masalan: B to‘plam A to‘plamning xos to‘plam osti ekanligi quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi.
1.1-rasm
Umumiy qismga ega bo‘lgan to‘plamlar kesishadi deyiladi va A∩B=Ø, ya’ni A va B to‘plamlar kesishmasi bo‘sh emas, deb yoziladi. Masalan, 2 ga karrali natural sonlar va 5 ga karrali natural sonlar to‘plamlari umumiy elementga ega, ya’ni kesishadi yoki kesishmasi bo‘sh emas. Bu to‘plamlar kesishmasi barcha 10 ga karrali natural sonlardan iborat bo‘ladi.
Ikki to‘plamning o‘zaro munosabatida to‘rt hol bo‘lishi mumkin (1.2-rasm):
to‘plamlar kesishmaydi (1.2-rasm, I);
to‘plamlar kesishadi (1.2-rasm, II);
to‘plamlarning biri ikkinchisining qism to‘plami bo‘ladi (1.2-rasm, III).
to‘plamlar ustma-ust tushadi, ya’ni teng (1.2-rasm, IV).
Ekvivalеntlik munosabati.
Ekvivalentlik munosabati.
Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «a||b», «a=b» kabi munosabatlar ekvivalentlik muno- sabati bo‘ladi.
misol. Sinf o‘quvchilari orasida «bir oyda tug‘ilgan» munosabati berilgan bo‘lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o‘quvchi o‘zi o‘zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o‘quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo‘lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo‘ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o‘quvchi B bilan, B o‘quvchi C bilan bir oyda tugilgan bo‘lsa, A bilan C ning ham tug‘ilgan oyi bir xil bo‘ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘lar ekan. U sinf o‘quvchilarini «bir oyda tugilgan o‘quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko‘pi bilan 12 ta bo‘lishi mumkin.
misol. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar to‘plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo‘lishini ko‘rsatamiz. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o‘tamiz.
Parallellik munosabati:
refleksiv, chunki ixtiyoriy a to‘g‘ri chiziq uchun a||a bo‘ladi;
simmetrik, chunki a||b bo‘lsa, b||a bo‘ladi;
tranzitiv, chunki a||b va b||c bo‘lsa, a||c bo‘ladi (parallel to‘g‘ri chiziqlar xossasiga ko‘ra).
1 1 1 2 2 3
misol. ; ; ; ; ; kasrlar to‘plamida tenglik munosa-
5 6 7 10 12 15
bati berilgan. (1.32- rasm)
1.32-rasm
Bu munosabat:
Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng;
Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi;
Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi.
Agar X to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat X to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar
Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.
Z butun sonlar to‘plamida aRb ⇔ m | (a - b) muno- sabatni qaraylik. Bu munosabat m=7 bo‘lganda Z to‘plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi:
[0] = {…, -14, -7, 0, 7, 14, …}
[1] = {…, -13, -6, 1, 8, 15, …}
[2] = {…, -12, -5, 2, 9, 16, …}
[3] = {…, -11, -4, 3, 10, 14, …}
[4] = {…, -10, -3, 4, 11, 14, …}
[5] = {…, -9, -2, 5, 7, 12, …}
[6] = {…, -8, -1, 6, 7, 13, …}
R – haqiqiy sonlar to‘plamidagi "<" munosabati bo‘lsin.
Bundan kelib chiqadiki, R={(х,у)∈R×R|х<у}.
m natural sonini olamiz va eslatib o‘tamizki, agar a∈Z, va m|a bo‘lsa, demak a soni m ga karrali. Z butun sonlar to‘plamidagi R munosabat quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
aRb ⇔ m | (a – b).
E`tibor beringki, biz bu munosabat bilan 1.4.3.- bo‘limda tanishgan edik.
T5 - {1, 2, 3, 4, 5} to‘plamning barcha 2-elementli toplam ostilaridan iborat bo‘lsin. R munosabatni T5da A1RA2⇔A1∩A2=∅ ko‘rinishda belgilaymiz. Bu misolda |R|ni hisoblah mumkinmi (quyidagi 3-mashqqa qarang)?
Haqiqiy sonlar o‘qi R da R munosabatni хRу⇔х-у∈Z kabi aniqlaymiz. π soniga mos elementni toping.
R-haqiqiy S to‘plamdagi munosabat bo‘lsin. Quyidagi 3 ta xossa bajarilsa, R ni ekvivalentlik munosabati deyiladi:
R refleksiv: sRs ixtiyoriy s ∈ S uchun;
R simmetrik: s1Rs2 ⇔ s2Rs1, s1, s2 ∈ S;
R tranzitiv: s1Rs2 и s2Rs3 ⇒ s1Rs3, s1, s2, s3 ∈ S.
Yuqorida keltirilgan 4 ta misoldan (II) va (IV) dagi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. (I) misolda berilgan munosabat refleksiv ham, simmetrik ham emas: (х<х har qanday haqiqiy son uchun yolg‘on, 1<2, lekin 2 ≤ 1). Shunga qaramay, bu munosabat tranzitivligini oson isbotlash mumkin. Qolgan hollarni misollarda qaraymiz.
S biror to‘plam va R S dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Ixtiyoriy s∈ S uchun [s] to‘plamni [s] = {s′∈ S | sRs′} ⊆ S ko‘rinishda aniqlaymiz va bu to‘plamni S dagi s ∈ S ni o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinflari deb ataymiz.
|
| |
