59
almashtirish va hokazo
element uchun
ta o„rin
almashtirish
mavjud. Bu o„rin almashtirishlar bog„liq bo„lmagani uchun, ko„paytirish
qoidasiga ko„ra, umumiy o„rin almashtirishlar soni
ta.
Uzunligi
songa teng kombinatsiya uchun o„rin
almashtirishlar soni esa
ta bo„ladi. Kombinatsiya
marta
element,
marta
element va hokazo
marta
elementdan iborat
bo„lgani uchun
ta o„rin almashtirish yangi o„rin
almashtirishni ifodalamaydi. Demak,
ta o„rin almashtirishlar tarkibida
ta o„rin almashtirishlar bo„lgani sababli, takrorli o„rin
almashtirishlar soni
ta ekan.
Bu teoremani quyidagicha ham isbotlash mumkin.
chekli to„plam bo„lib, uning elementlar soni ta bo„lsin.
Quyidagi
masalani ko„ramiz: bu to„plamni o„zaro kesishmaydigan (ya‟ni umumiy
elementlari bo„lmagan)
ta
qism to„plamlarga necha usul
bilan ajratish mumkin. Boshqacha aytganda, necha usul bilan
A
to„plamni
yig„indi ko„rinishida yozish mumkin. Bu yerda
to„plamning element-
lari soni mos ravishda
bo„lsa,
tenglik bajariladi.
Qo„yilgan masalada hamma
qism to„plamlarni
quyidagicha hosil qilish mumkin:
to„plamning
ixtiyoriy
ta
elementli
qism to„plamini olamiz. Yuqoridagilardan kelib chiqadiki,
buni
usul bilan bajarish mumkin. Keyin qolgan
ta
elementdan
usul bilan
ta elementli
qism to„plamni ajratamiz
va hokazo. Turli
to„plamlarni tanlashlarning umumiy soni
kombinatorikaning ko„paytirish qoidasiga asosan,
Demak, natijaga ko„ra, takrorli o„rin almashtirishlar soni
60
ta. (1) formula bilan aniqlanadigan
sonlar polinomial
koeffitsiyentlar deb ataladi.
Takrorli o„rin almashtirishlar vositasida
Nyuton binomi for-
mulasini umumlashtirishimiz mumkin.
takrorli o„rinlashtirish-
larda
element
marta,
marta
element ishtirok etgan bo„lsin.
Agar
tenglikda
va
deb olsak,
binomial koeffitsiyent kelib chiqadi.
Demak, binom formulasini quyidagicha ham yozish mumkin:
∑
bu yerda
