57
gan holda istalgancha takrorlanishi mumkin bo„lsin. Bu kombinatsiyalar
bir-biridan elementlarining tarkibi va joylashish tartibi bilan farq qiladi.
Bunday usul bilan tuzilgan birlashmalarga
ta elementdan tadan olib
tuzilgan takrorli o„rinlashtirishlar deyiladi.
Ushbu misolga qaraylik.
ta elementli { } to„plam
elementlaridan raqamlari takrorlanishi mumkin bo„lgan
ikki xonali
sonlarni topish talab qilinsin.
Ikki xonali sonning ko„rinishi
bo„lib, uzunligi ikkiga teng
bo„lgan kombinatsiyani ifodalasin. Birinchi raqamni tanlash uchun
{ } to„plamning
elementlaridan birini, ya‟ni uchta imkoniyat,
ikkinchi raqamni tanlash uchun esa, yana uchta imkoniyat mavjud.
Chunki ikki xonali sonning raqamlari takrorlanishi
mumkinligi masala
shartida keltirilmoqda. Ko„paytirish qoidasiga ko„ra, uzunligi ikkiga
teng bo„lgan kombinatsiyalar soni
ta ekan. Bu sonlar:
33,44,55,34,35,45,43,53,54 ko„rinishida bo„lishi mumkin.
Teorema.
ta turli elementlardan tadan takrorli o„rinlash-
tirishlar soni:
formula yordamida topiladi.
Isboti: Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulidan
foydalanamiz.
Induksiya bazasi:
uchun
ekanligi ravshan.
Induksion o‘tish:
uchun
formulani to„g„ri deb
faraz qilib,
bo„lganda,
formula ham to„g„ri
ekanini ko„rsatamiz.
elementdan tadan olib tuzilgan takrorli
o„rinlashtirishlarning ixtiyoriy birini quyidagicha hosil qilish mumkin.
Bunday takrorli o„rinlashtirishlarning birinchi elementi sifatida
{
} to„plamning ixtiyoriy elementini olamiz. Bu elementdan
keyin umumiy soni
ta bo„lgan, ya‟ni
ta elementdan
tadan takrorli
o„rinlashtirishlarni ixtiyoriy biridagi barcha elementlarni joylashtiramiz.
Bunday o„rinlashtirishlarda
{
} to„plamning element-
larini ixtiyoriy birini tanlash mumkinligini hisobga olsak, ko„paytirish
qoidasiga ko„ra,
ta elementdan tadan takrorli o„rinlashtirish-
larning jami soni
Bu ifoda formulani
uchun to„g„riligini ko„rsatadi.
58
Demak, umumlashgan ko„paytirish
qoidasiga binoan,
ta
elementli
to„plam elementlaridan tuzilgan uzunlikdagi elementlari
takrorlanishi mumkin bo„lgan kombinatsiyalar soni
ta bir xil to„plam
elementlarining soniga teng ekan. Bu son
ta ‒ to„plam
elementlari soni ko„paytmasidan iborat:
⏟
