ta ’sirining n atijasi aniqlansin

a) (л + s )1 = а
1
 + 
2
АВ+В1;
b)['а+ в){а-в) = а
1
- в 2.
11. Masala. Statsionar holatidagi diskret spektrda joylashgan 
zarracha impuls proyeksiyasining 
o'rtacha qiymati nolga tengligi 
isbotlansin.
Eslatma. H va x operatorlarining kommutatori orqali berilgan px 
operatori qiymatidan foydalanish kerak.
Yechish. M a ’lumki, 
H x - x f t
= - —pK, shuning uchun
m
p t  = j y / ' p f\j/dx = 
J
{ф’Нху
- y ' x H y f  )cfc .
Gamiltonianning ermitligi hisobga olinsa integral ostidagi ifodani 
quyidagicha yozish mumkin:
хц/Ну'-xy 'H y  = 
0 ,
chunki Нцг’ =Ец/’ va Нцг = Ец/.
12. Quyidagi operatorlam ing xususiy funksiyalari va xususiy 
qiymatlari topilsin:
a) 
- i — , 
agar y(x)=y(x+a) (bunda 
a 
- o'zgarm as kattalik);
dx
b) 
agar x = 
0
va x = l da у = 
0
bo'Isa. 
dx
13. Masala.
M
2
impuls 
moment 
kvadrati 
operatorining 
Y(0,(p) = (cos0 + 2sm6 coscp) xususiy funksiyasiga mos kelgan M
2
 impuls 
moment kvadrati operatorining xususiy qiymati topilsin.
Yechish: M a ’lumki 
M 2Y 
= 
M 2Y 
xususiy funksiyalar va xususiy 
qiym atlam i aniqlash munosabatdan foydalansak va
mV 
1 
Э , . -ЭЧ' 
1 
№
M -= ~ n  I - r ^ r — (sin g — ) + - T - .J
sin0 дв 
дв 
sin2 в Э(p
2
J
ekanligini 
hisobga 
olinsa, 
ushbu 
o p era to m i
Y(0,(p) ~(cos6 +2sm6coscp) funksiyaga t a ’siri natijasida
M 2Y - 2 t i 2
(cos0 + 2sin0cos)
kelib chiqadi. Demak, impuls moment kvadrati operatorining xususiy 
qiymati M
2
= 2ft2 ga teng bo ‘ladi.
87

14. Masala. 
y/(x) — A e 2a 
funksiya 
orqali 
ifodalangan
zarrachaning 
koordinatasi 
va 
impulsining 
о ‘rtacha 
qiymatlari 
aniqlansin.
mos holda zarrachaning koordinatasi va impulsining 
о ‘rtacha 
qiymatlarini hisoblash mumkin.
D em ak zarracha koordinatasining о ‘rtacha qiymati x = 
0
va zarracha 
impulsining о ‘rtacha qiymati p = hk
0
ga teng ekan.
15. Kvant mexanikasida sistemaning holati qaysi y o l bilan beriladi?
16. Kvant mexanikasida qanday operatorlar:
a) Koordinata;
b) Impuls;
d) dekart koordinatarida м. impuls momentning proyeksiyasi;
c) sferik koordinatarida M, impuls momentning proyeksiyasi;
f)sferik koordinatarida M2 impuls momentning kvadratiga 
mos 
keladilar?
Yechish. M a'lumki, x = J \f»\idx va p= jyr'pyfdx form ulalar orqali
f e °2dx = afn integralni va x = x ,p x = - ih — ekanligini hisobga olinsa
Эх
x = |л|2 J xe dx = \Л\" I x a f n '^ - a f K  j <&i = |л)2 - 0 = 0
va
natijaga kelinadi, chunki jAf =—
7
^.
ау/л

I l l bob 
VAQT 0 ‘TISHI BILAN HOLATLARNING 0 ‘ZGARISHI 
3.1. Shredinger tenglamasi
Avvalgi boblarda, zarrachaning biror vaqt momentidagi to ‘Iqin 
funksiyasi m a iu m b o ig a n holda, uning shu momentdagi har qanday 
fizik kattalikning ehtimollik taqsimotini aniqlash mumkin deb gap 
yuritgan edik. Lekin hozircha eng m uhim narsani, y a ’ni vaqt o lis h i 
bilan to iq in funksiyasining o ‘zgarishini va shu bilan birga fizik 
kattalikning ehtimollik taqsimotlari vaqt davomida qanday o ‘zgarishini 
bilmaymiz. Aniqki, zarracha holatining vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishi, unga 
ta ’sir qiluvchi kuchga b o g iiq b o iis h i kerak. Shuning uchun kvant 
m exanikasida 
to iq in funksiyasini vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishini 
boshqaruvchi, 
klassik mexanikadagi Nyuton qonunlaridek, dinamik 
qonun topish 
zarur. Shu sababli, klassik mexanikaning asosiy 
prinsiplarini yana bir marta eslab o lis h ortiqchalik qilmaydi. Klassik 
m exanikada zarrachaning holatlarini ta ’riflovchi fizik kattaliklar ichida 
koordinata va impuls alohida rol o ‘ynaydi. Sababi, bu kattaliklam ing 
biror vaqt momenti uchun berilishi, zarrachaning 
keyingi harakatini 
to liq aniqlab beradi, bu esa bevosita Nyuton qonunlaridan kelib 
chiqadi:
ф = р = _Э1/(г) 
dr_ = £  

Download 9,41 Mb.