33
ko„rinishida ifodalaymiz. So„ngra 5-teoremani va birlashmaga nisbatan
distributivlik qonunini qo„llab hamda
uchun formula to„g„riligini
hisobga olib, quyidagiga ega bo„lamiz:
|
| |
| |
|
|
|
Bu ifodadagi oxirgi ayriluvchi
ta to„plamning
kesishmasini
ifodalaganligi uchun, induksiya faraziga ko„ra, bu ayriluvchini
quyidagicha yozish mumkin:
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
|
|
Bu ifodani o„z o„rniga qo„ysak,
|
| |
| |
| |
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
| |
|
|
|
tenglik kelib chiqadi.
1.2. O‘rinlashtirishlar.
ta elementli { } to„plam
elementlaridan raqamlari takrorlanmaydigan ikki xonali sonlar tuzaylik:
34,35,45,43,53,54. Bu sonlar tartiblangan uzunligi 2 ga teng bo„lgan
kombinatsiyalarni, ya‟ni tartiblangan qism to„plamlarini aniqlaydi.
Ularning umumiy sonini
ta deb belgilaymiz (o„qilishi: “3 elementdan
2 tadan olib, tuzilgan o„rinlashtirishlar soni”). Bizda
bo„lmoqda.
Har qaysi juftlikning birinchi elementini yo 3, yo 4, yo 5, ya‟ni uni
ta ixtiyoriy tanlash imkoni bor. Agar birinchi element tanlangan
bo„lsa, ikkinchi elementni tanlash uchun
ta
tanlash imkoni
qoladi. Demak, ko„paytirish qoidasiga ko„ra, jami juftliklar soni
ta, ya‟ni
ta bo„ladi.
Ta’rif:
ta elementdan tadan tuzilgan takrorsiz
o„rinlashtirishlar deb shunday birlashmalarga aytiladiki,
ularning har
birida berilgan
ta elementdan ta element bo„lib, ular bir-biridan
34
elementlarining tarkibi yoki elementlarining tartibi bilan farq qiladi.
ta
elementdan
tadan olib tuzilgan o„rinlashtirishlar soni
kabi
belgilanadi (
-fransuzcha “arraguument”– o„rinlashtirish so„zining
bosh harfi).
ta elementli to„plam elementlaridan
tadan olib tuzilgan
o„rinlashtirishlar deb,
to„plamning uzunlikdagi tartiblangan qism
to„plamiga aytiladi. O„rinlashtirishlarda har bir juftliklar bir-biridan
tarkibi va tartibi jihatdan farq qiladi.
Teorema.
elementdan tadan olib tuzilgan o„rinlashtirishlar
soni,
eng kattasi
songa teng bo„lgan ta ketma-ket sonlarning
ko„paytmasiga teng, ya‟ni
( )
Isboti:
elementdan tadan olingan kombinatsiyalar sonini
topaylik. Kombinatsiyaning birinchi elementi ixtiyoriy tartibda
ta usul
bilan tanlanadi. U
holda ikkinchi element uchun
ta imkoniyat va
hokazo oxirgi
element uchun ta element tanlangandan so„ng,
ta tanlanish imkoni qoladi va bunda hech qaysi element
takror tanlanmaydi. Barcha
uzunlikdagi kombinatsiyalar soni, ko„pay-
tirish qoidasiga muvofiq,
( ) ta.
Bu teoremani matematik induksiya
usuli orqali ham isbotlash
mumkin.
