Sonli-raqamli
metodni tanlashni, kontekstli menyuda bayroqchani
AutoSelect (Avtomatik tanlash)ga
o‘rnatib,
MathCADga ishonib
topshirganingiz ma’qul. Boshqa metodni tanlab ko‘rsa bo'ladi, masalan,
maxsus hollarda, Sizda hisob natijalari to'g'riligiga gumon boiganda,
hisob natijalarini solishtirib ko'rish uchun.
Agar integral ostidagi funksiya "yaxshi" bo'lsa, ya?ni integrallash
intervalida
keskin o'zgarmasa,
xususiyatlarga ega bo'lmasa va
cheksizlikka aylanmasa, integralning sonli-raqamli
yechimi hech qanday
"syurpriz" keltirmaydi.
11.1.3. Integrallashning an ’anaviy algoritmlari haqida
MathCADda realizatsiya qilingan sonli-raqamli integrallash metodini
bayon qilishga o'tishdan avval, sonli-raqamli integrallashning asosiy
prinsiplarini ko'rib chiqamiz. Funksiya
f(x) aniq integralining geometrik
ma’nosi - ushbu funksiya grafigi va
x o'qi hosil qilgan shakl yuzasidan -
kelib chiqqan holda "yaxshi" funksiyani integrallashning
eng oson usuli -
to'g'ri to'rtburchaklar formulasini qoilashni taklif qilish mumkin. Uning
yordamida qayd etilgan shaklning yuzasi elementar to'rtburchaklar
summasi
sifatida
hisoblanadi,
integralosti
fimksiya
f(x)
ko'p
to'rtburchaklar bilan almashtiriladi.
To'rtburchaklar metodining illyustratsiyasi 11.4-rasmda keltirilgan.
Interval
i ni hisoblash uchun integrallash intervali
[a,b] N bo'lakka
bo'linadi. Har bir
i nchi kesmada
f(x) kengligi
h va balandligi
f(x,) bo'lgan
to'rtburchak bilan almashtiriladi. Bu elementar to'rtburchaklardan har
birining yuzasi
hf(xt) ni tashkil qiladi,
ularning summasi s ni esa
qidirilayotgan integral
I ga yaqin deb hisoblasa bo'ladi.
N -> ~ da
elementar to'rtburchaklaming к о 'pligi integralosti funksiya hosil qilgan
izlanayotgan shaklga intiladi, qiymat
S~>I, bunda xatolik (s ning aniq
qiymat / dan farqi)
Ofh2) ni tashkil qiladi.
T o'g'ri to'rtburchaklar algoritm ma’nosini,
berilgan integralosti
funksiyani boshqa, unga yaqinroq (ushbu holda bo'lakli-uzluksiz) funksiya
bilan almashtirish sifatida, qabul qilish mumkin, uni integrallashni analitik
hisoblash oson bo'lishligi uchun. Integrallashning aniqroq metodlarining
prinsipi - aynan integralosti funksiya
f(x)ni qandaydir unga yaqin bo'lgan
bog'lanish
y(x) bilan almashtirish va so'ngra
integralni shu fimksiyadan
hisoblashdadir. Bunda, birinchidan,
y(xj integrali analitik usulda aniq
hisoblana olinadigan bo'lsin; ikkinchidan, funksiya
f(x) esa, xatolik kam
boiishi uchun,
y(x)ga mumkin qadar yaqin bo'lishi kerak.
f ( x ) := e x p ( —x 2)
215
h : N
i := о.. N
x{:= i-h -
11.4-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchaklai algoritmi xatoliklarini baholash
Ma’lumki, eng oddiy algoritm
- bu integralosti funksiya f(x)m
integrallash qadamlari
N ning har birida qandaydir
y(x) polinom bilan
interpolyatsiya qilishdadir. Interpolyatsiya qiluvchi polinomlarni, xususan,
tartibi bilan farqlanuvchi polinomlarni, qurishmng
har xil yoilari taklif
qilinishi mumkin. Masalan, Lagranj polinomlari integrallashning
N
elementar intervallarining har birida
n nuqtalarda
f(x) interpolyatsiya
qilinganda quriladi. Integrallash klassik algoritmlarining oilasi bu holda
Nyuton-Kotes metodi deyiladi. Eslatib o‘tamiz,
n = l da to ‘g‘ri
chiziq
polinom bo‘ladi va biz bunda trapetsiyalar metodiga ega bo‘lamiz;
n=2 da
integrallashning har bir qadamida kvadrat parabola interpolyatsiya
qiluvchi polinom bo‘ladi va biz Simpson algoritmini olamiz va h.k.
f ( x ) := e x p (-x ?)
N : = s . . 5 Г
/VWV*
216
