)2
=o
bajariladi va L kattalik Lx,L
2
,...Ln... dan faqat bitta kattalikni qabul
qiladi. Ixtiyoriy kattalik qiymatlari to ‘plamini shu kattalikning spektri
deyiladi. Spektr ikki xil b o ‘lishi mumkin: uzlukli, y a’ni diskret va
uzluksiz. Agar spektrda L„u,...Ln... alohida qiymatlar m avjud bo‘lsa, u
holda diskret spektr bilan ishlanadi va bu holda fizik kattalik
kvantlangan qiymatlami qabul qiladi. Agar L barcha qiymatlami qabul
qilsa, u holda spektr uzluksiz b o ‘ladi.
Fizik
kattaliklam i
tavsiflovchi
operatorlarning
muhim
bir
xususiyatini k o‘rishga o ‘taylik. Bu xususiyatning mavjudligi, fizik
kattaliklam ing o ‘rtacha qiymarlari haqiqiy sonlar bilan ifodalanishi
kerakligi bilan, y a’ni ular uchun
Hozir
diskret
spektrga
ega
b o ‘lgan
o ‘z-o‘ziga
qo‘shma
operatorlarning b a’zi-bir muhim xossalari k o ‘rib chiqiladi. Masalani
soddalashtirish maqsadida ikkita u l va и г kompleks funksiyalardan
foydalaniladi. Agarda
L = L*
shart bajarilishi bilan bog‘liqdir.
2.4 Xususiy funksiyalaming asosiy xossalari
(2.17)
65
b o ‘lsa va integral o ‘zgaruvchilaming o ‘zgarishi butun soha b o ‘yicha
b o ‘lsa, u holda bu funksiyalam i ortogonal funksiyalar deyiladi.
0 ‘z-o‘ziga q o ‘shma operatorlam ing har xil xususiy qiymatlariga
mos keluvchi xususiy funksiyalar ortogonal ekanligi ko ‘rsatiladi, y a ’ni
/ v , V B* = 0
(2.18)
shart bajarilishi kerak. Operatom ing xususiy funksiyalari xossasiga
binoan,
*■¥„, ~ Lmy r va Ly„ = L„yfn.
(2 -19)
Birinchi tenglamaning qo‘shmasi hosil qilinadi:
L’Vm = КУш ■
(2.19’)
Bu yerda eslatib o ‘taylik
(2.19) tenglamaning ikkinchisini
Y„,' ga, (2.19’) tenglamani esa y/„ ga k o ‘paytiriladi, keyin esa birinchi
tenglamadan ikkinchisi ayiriladi. Natijada
Wm'L W „ -V n^ , n = (L„ - Lm V,„V„ •
Bu tenglikni o ‘zgaruvchilam i butun soha o ‘zgarishi b o ‘yicha
integrallansa,
J V m t w A - j V „ i y = (L„ - Lm ) J yи
(2. 20)
natijani olinadi. L operatorlaming o ‘z-o ‘ziga qo‘shmalik shartini
hisobga olinsa, y a ’ni
\v„!Lw„dx = \v „ L 'v m'dx
b o ‘ladi va (2.20) tenglikning chap tomoni nolga teng. Demak,
(L„ ~ LJ l v m*V„dx =
0
va Lr
ф
Lm b o ‘lgani uchun,
j y „ , y > - = o
(
2
.
21
)
ortogonallik sharti kelib chiqadi.
Ikkinchi tom onidan diskret spektrga tegishli funksiyalar har doim
kvadratik integrallanuvchidir, shu tufayli ulam i 1 ga normallashtirish
mumkin, y a ’ni
lV n ¥ n d x = l .
(2.22)
Oxirgi tenglikni (2.21) tenglik bilan birlashtirib yozish mumkin.
66
|
