Bu ta ’rifdan ajoyib xususiyat kelib chiqadi, agar
l
=
l
’ nuqta
[a,b]
intervalning tashqarida b o 4 Isa,
\ j { L ' )
8
(L -L ') d L ' = 0
(2.29)
ifodalanadi. Agar
L = L' nuqta
[a,b\
intervalning ichida joylashgan
b o ‘lsa,
lf{ L ') 5 { L -
L')dL' =
f(L )
(2.30)
kelib chiqadi. Demak, uzluksiz spektr uchun <5 - funksiya diskret
spektrdagi <5.„r Kroneker belgisi rolini o ‘ynaydi.
M atematikadan m a’lumki, faqat diskret spektrga ega b o ‘lgan o‘z-
o ‘ziga qo‘shma operatorlam ing barcha ortonormallashgan xususiy
funksiyalari Gilbert fazosida to ‘liq to‘plamni tashkil etadi. Soddaroq
qilib
aytganda,
istalgan
kvadratik
integrallanuvchi
funksiyani
operatoming xususiy funksiyalari b o ‘yicha qatorga yoyish mumkin:
¥ ( x ) = J j C\y/„(x),
(2.31)
(2.31) formuladan foydalangan holda
c n qator koeffitsiyentlarini oson
aniqlash mumkin. (2.31) tenglikning ikkala tomonini chapdan
y/„'(x)
skalar ravishda k o ‘paytiriladi va butun fazo b o ‘ylab integrallanadi:
= ' £ c nj\i/m'(x)irn(x)dx
(2.32)
funksiyani ortogonalligini va nomiallashganligi hisobga olinsa,
(2.32) ifodaning o ‘ng tomonidagi y ig ‘indi belgisi ichida turgan integral
b o ‘ladi, shunday qilib
X C» . K ‘
{x)w„ { x) dx = X c„8mn = Cm
n
n
Indeks
m ni
n ga almashtirilsa, quyidagi
=Jv^4^V,,,W*
(2.33)
koeffitsiyent aniqlanadi va (2.32) dagi barcha c„ koeffitsiyentlami
topish mumkin.
