(2.69)
лУ
д
а
д
М х =in sm
(р-----
1
-
ctgd cos
(р —
1
дв
д (р
Shunga
o ‘xshash
hisobJashlarini
amalga
oshirib,
quyidagi
formulalami ham keltirib chiqarish mumkin:
M = —iti ( cos
(p —
ctgd sin
(p ——
J
(
д в
d(p
M , = —ih -
Эф
(2.70)
(2.71)
(2.69), (2.70) va (2.71) tengliklar sferik koordinatalar sistemasidagi
impuls m oment operatorining
г,в,(р komponentalari orqali
ifodalanishidir.
Endi impuls m omentining kvadrati uchun ifoda aniqlaniladi. Kvant
m exanikasida impuls m omenti kvadrati operatori uning koordinata
o ‘qlaridagi proyeksiyalari kvadrati operatorlarining y ig‘indisiga teng:
M 2 =
M l + M 2 +
M l
(2.72)
Yuqoridagi (2.69) - (2.71) form ulalam i e’tiborga olib,
impuls
momenti kvadratining operatori uchun
М г = - К
1
d ( . D d \
l
sm0~— |+-
(2.73)
sin в дв\^
дв J sin
1
в d(p
2
ifoda hosil qilinadi.
Olingan (2.73) ifodani Laplas operatori YVo orqali yozish mumkin.
Sferik koordinatalar sistemasini ikki komponentasi e,
operatori
(2.74)
sm
в дв
sin0
дв
+
sin2
в Э
bo'lgani uchun
M
2
= - t f V
2
(2.75)
teng b o iad i.
Shunday qilib, sferik koordinatalar sistemasida zarracha harakati
uchun impuls momenti proyeksiyalarining
operatorlari va impuls
momenti kvadrati operatori uchun ifodalari aniqlab berildi.
78
2.8. Impuls moment kvadrati operatorininig xususiy qiymati va
xususiy funksiyalari
Kvant
m exanikasida
impuls
moment
kvadrati
operatori
fundamental ahamiyatga ega ekanligidan, uning xususiy qiymatini va
xususiy funksiyasini aniqlash m asalasi
dolzarb masalalardan biri
hisoblanishi kelib chiqadi. Avvalgi paragrafda
M 2
operator uchun
olingan (2.73)
ifodani
faqat
0 va с
p burchaklarga ta ’sir qilishini
hisobga olinsa, u holda to ‘lqin funksiyasining ushbu burchaklam ing
o ‘ziga bog ‘liq qisminigina qarash mumkin, y a’ni
у= ц г(в,(р )
(2.76)
M 2 operatoming xususiy qiymatlarini aniqlab beruvchi tenglama esa
= M >
(2-77)
k o ‘rinishda b o ‘ladi. (2.73) dagi JV12 ning qiymatini (2.77) qo ‘yilsa va
Я =
(2-78)
fi
2
belgilash kiritilsa, (2.77) tenglama quyidagi k o ‘rinishni oladi:
1
Э
sin0
дв
'sin
в <)ц/ V — -2-
+ Ay/ = 0
(2.79)
дв J sin
