Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi
birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.
Z butun sonlar to‘plamida aRb
⇔
m | (a - b) muno- sabatni qaraylik. Bu
munosabat m=7 bo‘lganda Z to‘plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi:
[0]
= {…, -14, -7, 0, 7, 14, …}
[1] = {…, -13, -6, 1, 8, 15, …}
[2] = {…, -12, -5, 2, 9, 16, …}
[3] = {…, -11, -4, 3, 10, 14, …}
[4] = {…, -10, -3, 4, 11, 14, …}
[5] = {…, -9, -2, 5, 7, 12, …}
[6] = {…, -8, -1, 6, 7, 13, …}
(I).
R – haqiqiy sonlar to‘plamidagi "<" munosabati bo‘lsin.
Bundan kelib chiqadiki, R={(х,у)
∈
R×R|х<у}.
(II).
m natural sonini olamiz va eslatib o‘tamizki, agar a
∈
Z, va m|a bo‘lsa, demak
a soni m ga karrali. Z butun sonlar to‘plamidagi R munosabat quyidagicha aniqlangan
bo‘lsin:
aRb
⇔
m | (a – b).
E`tibor beringki, biz bu munosabat bilan 1.4.3.- bo‘limda tanishgan edik.
(III).
T
5
- {1, 2, 3, 4, 5} to‘plamning barcha 2-elementli toplam ostilaridan iborat
bo‘lsin. R munosabatni T
5
da A
1
RA
2
⇔
A
1
∩A
2
=
∅
ko‘rinishda belgilaymiz. Bu misolda
|R|ni hisoblah mumkinmi (quyidagi 3-mashqqa qarang)?
(IV).
Haqiqiy sonlar o‘qi R da R munosabatni хRу
⇔
х-у
∈
Z kabi aniqlaymiz. π
soniga mos elementni toping.
R-haqiqiy S to‘plamdagi munosabat bo‘lsin. Quyidagi 3 ta xossa bajarilsa, R ni
ekvivalentlik munosabati deyiladi:
R refleksiv: sRs ixtiyoriy s
∈
S uchun;
R simmetrik: s
1
Rs
2
⇔
s
2
Rs
1
, s
1
, s
2
∈
S;
R tranzitiv: s
1
Rs
2
и s
2
Rs
3
⇒
s
1
Rs
3
, s
1
, s
2
, s
3
∈
S.
Yuqorida keltirilgan 4 ta misoldan (II) va (IV) dagi munosabatlar ekvivalentlik
munosabati bo‘ladi. (I) misolda berilgan munosabat refleksiv ham, simmetrik ham emas:
(х<х har qanday haqiqiy son uchun yolg‘on, 1<2, lekin 2
≤
1). Shunga qaramay, bu
munosabat tranzitivligini oson isbotlash mumkin. Qolgan hollarni misollarda qaraymiz.
S biror to‘plam va R S dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Ixtiyoriy s
∈
S uchun
[s] to‘plamni [s] = {s′
∈
S | sRs′}
⊆
S ko‘rinishda aniqlaymiz va bu to‘plamni S dagi s
∈
S ni o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinflari deb ataymiz.
