5
I BOB. STOXASTIKA ELEMENTLARINING MATEMATIKA
TA’LIMIDA SHAKLLANISH BOSQICHLARI
Ushbu bobda stoxastika elementlarining paydo bo‘lishi haqidagi
ayrim tarixiy ma’lumotlar, stoxastika tushunchasining ma’nosi va
stoxastik metodlarning ahamiyati, bu sohani shakllanishida salmoqli
hissa qo‘shgan yetuk olimlar haqida ma’lumotlar bayon etilgan.
1-§. Stoxastikaning rivojlanish tarixi
1.1. Kombinatorika. Ma‟lumki, har qanday jamiyatning rivojla-
nish darajasi undagi fan va texnikaning taraqqiyoti bilan belgilanadi. O„z
navbatida fan va texnikaning taraqqiy etishida matematika va matematik
metodlar asosiy rol o„ynaydi. Matematik metodlar sistemasida esa,
stoxastik metodlar (stoxastika) o„zining o„rni va vazifasi, ishonchliligi
va samaraliligi bilan ajralib turadi.
Stoxastika-stoxastik metodlar deganda, umuman, “Ehtimollar
nazariyasi va matematik statistika” fani asosida yuzaga kelgan
matematik metodlar majmuasi tushuniladi. Stoxastika elementlarining
kombinatorik tahlil, birlashmalar nazariyasi, qisqacha kombinatorika
deb ataluvchi bo„limida chekli yoki muayyan ma‟noda cheklilik shartini
qanoatlantiruvchi to„plamni (bu to„plamning elementlari qanday bo„li-
shining ahamiyati yo„q) qismlarga ajratish, ularni o„rinlash va o„zaro
joylash, ya‟ni kombinatorik tuzilmalar bilan bog„liq masalalar
o„rganiladi. Sodda qilib aytganda, ma‟lum obyektlarni maxsus
qoidalarga bo„ysungan holda joylanishlarni va bu joylanishlar sonini
hisoblash metodlarini o„rganadigan matematikaning bo„limi kombina-
torika deb ataladi. To„plamlar nazariyasi iboralari bilan aytganda esa,
kombinatorikada kombinatsiyalar va to„plamlar, ularning birlashmalari
va kesishmalari hamda kombinatsiyalar va qism to„plamlarni turli
usullar bilan tartiblash masalalari qaraladi.
Kombinatorikaga oid ma‟lumotlar inson faoliyatining turli soha-
larida qo„llanilmoqda. Jumladan, kimyo, fizika, biologiya, lingvistika,
axborot texnologiyalari va boshqa sohalar bilan faoliyat olib boruvchi
mutaxassislar kombinatorikaning turli masalalariga duch keladilar.
Chunki bizning kundalik hayotimizda ba‟zi amaliy masalalarni
6
yechishda kombinatorikadan foydalanishga to„g„ri keladi. To„plamlar
nazariyasida bo„lgani kabi, kombinatorik metodlar ehtimollar nazari-
yasiga oid masalalarni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi. Bu holat
matematikani o„qitish metodikasida matematikaning boshqa tarmoqlari
bilan uzviylik tamoyillari o„rinli ekanligiga ishora qiladi. Kombinatorika
elementlari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika faniga kirish
deb ham qaraladi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani
tabiiy fanlarda, ijtimoiy-iqtisodiy fanlarda hamda xalq xo„jaligining turli
sohalarida tatbiqlanishi ma‟lum.
Kombinatorikaning ba‟zi elementlari eramizdan oldingi II asrda
hindistonliklarga ma‟lum edi. Eramizning XII asrida Bxaskara Acharya
1
o„zining ilmiy tadqiqotlarida guruhlash va o„rin almashtirishlarni
qo„llagan. Tarixiy ma‟lumotlarga ko„ra, hindistonlik olimlar kombina-
torika elementlaridan foydalanib she‟riy asarlar tarkibiy tuzilishining
mukammalligini tahlil qilishga urinishgan. Taniqli matematiklar:
B.Paskal
2
, Yakob Bernulli
3
, L. Eyler
4
, R.L.Chebishev
5
turli o„yinlarda
(tanga tashlash va shu kabilar) ilmiy jihatdan asoslangan qaror qabul
qilishda kombinatorikani qo„llashgan.
XVII asrda kombinatorika matematikaning alohida bir ilmiy yo„-
nalishi sifatida shakllana boshladi. B. Paskal o„zining “Arifmetik uch-
burchak haqidagi traktat” va “Sonli tartiblar haqida traktat” (1665-y.)
nomli asarlarida binomial koeffitsiyentlar deb ataluvchi sonlar haqidagi
ma‟lumotlarni keltirgan. P.Ferma
6
esa figurali sonlar bilan birlashmalar
nazariyasi orasidagi bog„lanishni aniqlagan.
”Kombinatorika” iborasi G.Leybnits
7
ning “Kombinatorik san‟at
haqidagi mulohazalar” nomli asarida birinchi bor 1665-yilda keltirilgan.
Bu asarda birlashmalar nazariyasi ilmiy jihatdan ilk bor asoslangan.
O„rinlashtirishlarni o„rganish bilan esa birinchi bo„lib Yakob Bernulli
shug„ullangan va bu haqdagi ma‟lumotlarni 1713-yilda bosilib chiqqan
“Ars conjectandi” (“Bashorat qilish san‟ati”) nomli kitobining ikkinchi
qismida bayon qilgan. Kombinatorikaning ayrim tushunchalarini kelib
chiqishi va rivojlanishi haqida ba‟zi ma‟lumotlarni keltirib o„tamiz:
1
Bxaskara Acharya (1114-1178 yilda keyin) –hindistonlik matematik va astronom.
2
Blez Paskal (1623-1662) –fransuz faylasufi, ixtirochisi, matematigi va fizigi.
3
Yakob Bernulli (1654-1705) –Shvytsariya matematigi.
4
Leonard Eyler (1707-1783) –mashhur ingliz matematigi, mexanik va fizik.
5
Chebo„shev Pafnutiy Lvovich (1821-1894) rus matematigi va mexanigi.
6
Ferma P‟er (1601-1665) fransuz matematigi va huquqshunosi.
7
Gotfrit Leybnits (1646-1716) –nemis faylasufi, matematigi, fizigi, ixtirochisi, tarixchi va
tilchisi.
7
O„rta maktab matematika kursidan ma‟lum bo„lgan quyidagi qisqa
ko„paytirish formulasini eslaylik:
Ixtiyoriy
va haqiqiy sonlar hamda natural soni uchun
ifodaning ko„phad shaklidagi yoyilmasi Nyuton
8
binomi formulasi deyi-
ladi. “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa,
undagi har ikki so„zga nisbatan ham shubha tug„iladi: birinchidan,
ifoda birdan katta natural
sonlar uchun binom (ya‟ni
ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi
Nyutongacha ma‟lum edi. Greklar
ifodaning qator yoyilmasini
ning faqat bo„lgan holida (ya‟ni yig„indi kvadratining
formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom
9
va Ali Qushchi
10
ifodani
bo„lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar.
Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr
sonlar uchun ham qo„llagan. L.Eyler 1774-yilda Nyuton binomi
formulasini kasr
sonlar uchun isbotladi. K.Makloren
11
esa bu
formulani darajaning ratsional ko„rsatkichlari uchun qo„llagan. Nihoyat,
N.Abel
12
daraja ko„rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun
binom haqidagi teoremani isbotladi. Kombinatorikada ma‟lum bo„lgan
Paskal uchburchagi nomini olgan arifmetik uchburchak Paskal nomi
bilan atalsa-da, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli
mantaqalarida, jumladan, Sharq mamlakatlarida ma‟lum bo„lgan.
Masalan, Eronda yashab ijod etgan Nosir at-Tusiy
13
XIII asrda bu
jadvaldan foydalanib, berilgan ikki son yig„indisining natural darajasini
hisoblash usulini o„zining ilmiy ishlarida keltirgan. G„arbda Al-Koshiy
nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi butun sonning
istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisob-
lashda bu jadvaldan foydalangan. Keyinchalik Yevropada bu sonlar
uchburchagi haqida M.Shtifel
14
arifmetika bo„yicha qo„llanmalarida
bayon qilgan va butun sondan istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik
ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalangan.
8
Isaak Nyuton (1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi.
9
Umar Xayyom (G„iyosiddin Abulfaz Umar Ibn Ibrohim Xayyom Nishopuriy,
(1048-1131) ‒ fors shoiri, matematigi va faylasufi.
10
Ali Qushchi (Jamshid Ibn Ma‟sud, 1436-1437) ‒ o„zbek matematigi va astronomi.
11
Kolin Makloren (1698-1746) –Shotlandiya matematigi.
12
Abel Nils Xenrik (1802-1829) ‒ Norvegiya matematigi.
13
Nosir at-Tusiy (Nosir Ad-Din-Muxammad Ibn Muxammad Ibn-Al-Xasan, 1201-1274) – Eron
astronomi va matematigi.
14
Mixel Shtifel (1487-1567) ‒ nemis matematigi.
8
1556-yilda bu sonlar jadvali bilan N.Tartaliya
15
, keyinroq logarifmik
lineyka ijodkori U.Otred
16
(1631-y.) ham shug„ullangan. 1654-yilga
kelib, B.Paskal o„zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli
asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma‟lumotlarni batafsil e‟lon qildi.
Yana ajoyib xususiyatga ega bo„lgan “Fibonachchi
17
sonlari” deb
ataluvchi kombinatorik tushuncha haqida ma‟lumotlar keltiramiz.
Elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo„lgan ketma-ketlikning
uchinchi hadidan boshlab, har biri o„zidan oldingi ikkita elementning
yig„indisiga teng ketma-ketlik ‒ Fibonachchi qatori, uning hadlari esa ‒
Fibonachchi sonlari deb ataladi. “Fibonachchi sonlari” iborasi birinchi
bo„lib, XIX asrda Eduard Lyuka
18
tomonidan qiziqarli matematikaga oid
asarlarida keltirilgan. Fibonachchi italyancha “filius Bonacci”
so„zlaridan qisqartirib olingan bo„lib, Bonachchining o„g„li ma‟nosini
anglatadi. Bu Italiyaning Piza shahrida XII-XIII asrlarda yashagan
Leonardo Pizanskiyning tahallusidir (laqabi). Bonachchi Italiya va
Jazoirda savdo ishlari bilan shug„ullangan. U boshlang„ich ma‟lumotni
Jazoirda olgan bo„lib, o„zining arab o„qituvchilaridan bir qancha
bilimlar qatorida hind pozitsion o„nlik sanoq tizimi va nolni o„rgangan.
Fibonachchi “Liber abasi” nomli kitobida arifmetika va algebra bo„yicha
ko„p ma‟lumotlarni bayon qilgan. Bu kitob “Abak haqidagi kitob” deb
nomlanib, 1202-yilda yozilgan va hozirda 1228-yildagi qo„lyozma
nusxasi saqlanadi. U kitobda hozirda amaldagi “arab” raqamlari bayon
qilingan. Bizgacha yetib kelgan ma‟lumotlarga ko„ra, Fibonachchining
o„zi Fibonachchi qatorining xossalarini o„rganmagan. Lekin u
Fibonachchi sonlariga tegishli xususiyatga ega bo„lgan bir qancha
masalalarni yechgan, keltirgan va amalda qo„llagan. Eduard Lyuka esa
ixtiyoriy
va
sonlardan
boshlanuvchi
hamda
rekurrent tenglik bilan aniqlanuvchi sonlar qatorini umumlashgan
Fibonachchi qatori va unda qatnashgan hadlarni Fibonachchi sonlari
deb nomlagan. Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida
kutilmaganda namoyon bo„lishi mumkin. Masalan, kungaboqarning
urug„lari joylashgan savatida osonlik bilan sanab aniqlash mumkin bo„l-
gan spirallar sonlari sifatida ko„rinadi. Kungaboqarning urug„lari joy-
lashgan savatida logarifmik spirallarning ikki oilasini kuzatish mumkin
15
Nikkolo Tartaliya (1499-1557) –italyan matematigi va mexanigi.
16
Uilyam Otred (1574-1660) – ingliz matematigi.
17
Finobachchi Pizanskiy (1180-1240) – italyan matematigi.
18
Eduard Lyuka (1842-1891) ‒ fransuz matematigi.
9
(logarifmik spiral, bu qutb koordinatalar tizimidagi tenglamasi
bo„lgan egri chiziqlar, bunda
Bu egri
chiziq koordinatalar boshidan chiquvchi barcha nurlarni o„zgarmas
burchak ostida kesib o„tadi va
bo„ladi). Bu oilalardan birining
spirallari aylanishi soat mili yo„nalishida, ikkinchisiniki esa teskari
yo„nalishda bo„ladi. Botanikada spirallar oilasining bunday joylashishini
“fillotaksis” (yunon tilida bu so„z bargning tuzilishi ma‟nosini beradi)
deb atashadi. Oilalardagi spirallar soni Fibonachchi qatorida ketma-ket
joylashgan ikkita Fibonachchi sonlaridan iborat bo„ladi. Ular
kungaboqar savatining kattaligiga qarab, 34 va 55 yoki 55 va 89, yoki 89
va 144 bo„lgan Fibonachchi sonlari juftliklarini tashkil etadi.
Kungaboqarlar filotaksisi va Fibonachchi sonlari orasidagi bu
bog„lanishni birinchi bo„lib E.Lyuka e‟lon qilgan.
Hozirgi vaqtda kombinatorikada qo„llanilayotgan belgilashlarning
ayrimlari XIX asrga kelib shakllandi. Masalan: Dastlabki
ta natural
sonlar ko„paytmasini
(en factorial–deb o„qiladi, faktorial so„zi
lotincha “factor” so„zidan olingan bo„lib, ko„paytuvchi ma‟nosini
anglatadi) ko„rinishida belgilash qabul qilingan bo„lib,
belgisidan birinchi bo„lib nemis matematigi K.Kramp
19
1808-yilda
nashr etilgan algebra bo„yicha qo„llanmada foydalangan.
XX asrga kelib kombinatorika, matematika va uning tatbiqlarini
rivojlanishiga hech qanday aloqador emas va u o„z yakunini topgan fan
deb hisoblaydigan fikrlar ham paydo bo„ldi. Lekin XX asr boshidan
boshlab, kombinatorika chekli to„plamlarni o„rganishda asosiy metod
hisoblanib, u to„plamlar nazariyasining maxsus bo„limiga aylandi.
Hozirgi paytda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, ma‟lu-
motlar nazariyasi, hisoblash texnikasini mukammallashtirish muammo-
larini hal qilishdagi juda muhim tatbiqlari natijasida, kombinatorika
matematikaning intensiv rivojlanib borayotgan sohasiga aylandi.
| 