Mühazirə 10. RPİ sistemlərində mürəkkəb interpolyasiya. (Həndəsi məsələ)
Mürəkkəb heykəltəraşlıq səthlərinin emalı üçün CAMr sistemlərinin köməyi ilə xətti aproksimasiya qururlar. Belə aproksimasiya trayektoriyanı uzunluğu 20 mkm -ə qədər olan qısa parçalar şəklində ifadə edir. Müasir RPİ sistemləri isə bu məsələni polinom (Polinom riyaziyyatda çoxlu sayda rasional üstlü dəyişənlərin (x)cəmidir. Elementar cəbrdə P polinom kimi ifadə olunur, burada b polinomun hədlərinin əmsalını, n isə onun dərəcəsini göstərir. Polinomun vacib xassələrindən biri də odur ki, istənilən kəsilməz funksiyanı minmal xəta ilə polinomla əvəz etmək olar. Bu baxımdan b0 - əvvəlki kadrın son nöqtəsi, b1 - həqiqi kadrın hesablanan son nöqtəsi, b2−bn - proqram üzrəhesablanmışəmsallardır. Polinom interpolyasiyanın köməyi ilə düz xətlərə, parabolik və üstlü funksiyalara müvafiq müxtəlif formalar yaratmaq olar) və splaynların köməyi ilə həll edir. Onların müxtəlifliyinə bax mayaraq idarəetmə sistemlərində onlardan yalnız bir neçə nö vü davamlı tətbiqini tapmışdır. İnterpolyasiyanın bu metodlarının tətbiqinin xüsusiyyətlərinə baxaq.
Şək. 1. Vintli xətlərin interpolyasiyası (profil frezi ilə yivaçma) kadrın son nöqtəsi
Polinomial interpolyasiya ən sadə interpolyasiya kimi hesab edilir. Onun hamar trayektoriyalar üçün xüsusilə Şək.1. Vintli xətlərin interpolyasiyası (profil frezi ilə yivaçma) o hallarda tətbiq edirlər ki, bu zaman verilmiş nöqtələrin kiçik sayı əsasında dəqiq nəticə əldə etmək lazım olsun. Kontur n -1 dərəcəli polinom şəklində təsvir edilir, burada n - interpolyasiya olunan funksiyanın
məlum qiymətlərli nöqtələrinin sayıdır. Bu üsulun çatışmayan cəhəti ondanibarətdir ki, böyük hesablama gücləri məsrəfləri tələb edir və hamar olmayan konturlar halında nisbətən yüksək xətaya malikdir.
Splayn - interpolyasiya parça - kubik funksiyaları istifadə edir. Bu metod böyük üstünlüklərə malikdir, amma onu verilmiş nöqtəlrəin sayı həddindən artıq çox olan zaman tətbiq edirlər.
“Rasional” splayn – interpolyasiya özündə iki polinomun nisbətinə bərabər olan funksiyanı göstərir. Bu metodu ən güclü metod hesab etmək olar, belə ki o
konturun formasını idarəetmək üçün əlavə parametrlərə malikdir.
Splaynlı interpolyasıya məsələsi iki altməsələdən ibarətt dit: splaynın əmsallarının hesablanması və splayn funksiyası nın onun ayrı-ayrı nöqtələrində qiymətlərinin hesablanması. Splaynın əmsallarının hesablanmasını adətən CAM-sistemi yerinə yetirir, splayn funksiyasının qiymətlərinin hesablanr ması isə PRİ sisteminin interpolyasiya alqoritmi çərçivəsində həyata keçirilir.
İndi isə splaynların 3 variantına – ASPLINE, NURBS və CSPLINE variantlarına ətraflı baxaq.
ASPLINE tipli splayn. ASPLINE splaynı (Akima splA ine) dəqiq olaraq bütün verilmiş nöqtələrdən keçir [26]. Ümumiləşdirilmiş şəkildə ASPLINE splaynı aşağıdakı çoxı hədli şəklində verilə bilər:
Nöqtələrin qeyri-bərabər (bir ölçüdə olmayan) torunda (şəbəkəsində) A,B,C,D əmsallarını dörd xətti tənliklər sistemini həll etmək ilə tapırlar:
Burada di−1=xi−xi−1,di=xi+1−xivədi+1=xi+2−xi+1.
Verilmiş nöqtələrin maksimal mümkün sayı RPİ sistem lərinin hesablama imkanlarından asılıdır. Məsələn, Simens firmasının Sinumerik sistemi altı nöqtədən keçən splaynları qurmağa imkan verir. ASPLINE splaynından istifadə edərkən onu nəzərə almaq lazımdır ki, əyriliyin kəskin dəyişməsi yaxs şı dərəcəli aproksimasiya ilə kəsilməyən əyri qurmağa imkan vermir.
Splaynın bu tipini o vaxt istifadə etmək məqsədəuyğunu dur ki, bu zaman verilmiş nöqtələrin koordinatları nəzarət-ölçü maşınlarının ölçmələri nəticəsində alınmışdır. Splaynın dəqiqliyi verilmiş nöqtələrin sayından asılıdır (şək. 2).
Şək. 2. ASPLINE splaynın verilmiş nöqtələrin sayından asılı olaraq dəqiqliyi
Şək. 3. CSPLINE (kubik splayn)
CSPLINE – splaynları. Kubik (cubic) CSPLINE splaynı analitik hesablanan əyri boyunca yerləşmiş verilmiş nöqtələrdən keçən kəsilməyən əyridən ibarətdir (şək. 3). analitik funksiyasının müntəzəm torunun nöqtələri eyni zamanda kubik splaynın qurulması üçün baza təşkil edir.
Kubik splaynlar ilə interpolyasiya sürətli, səmərəli və xətalarının sabitliyi (dayanıqlığı) ilə konturun interpolyasiya üsulu kimi müəyyən edilir. O polinomial interpolyasiya ilə uğurla rəqabət aparır. Kubik splaynın qurulmasının əsasında interpolyasiya olunan konturun kiçik intervallara bölünməsi ideyası dayanır. Bu intervalların hər biri üçün xüsusi üçüncü dərəcəli polinom verirlər. Polinomun əmsallarını elə seçirlər ki, bu zaman intervalların sərhədlərində funksiyanın özünün, eləcə də onun birinci və ikinci tərtib törəmələri funksiyalarır nın fasiləsizliyi (kəsilməzliyi) saxlanılsın. Sərhəd şərtlərinin intervalların sərhədlərində birinci və ikinci tərtib törəmələrin qiymətləri şəklində verilməsi imkanları mövcuddur. İnterval sərhədlərində bu törəmələrin ikisindən birinin məlum qiymətt lərində təsvir edilən interpolyasiyanın sxemi alınır. Əgər törə- mələrin qiymətləri məlum deyilsə, onda intervalın sərhədində ikinici tərtib törəməni sıfra bərabər hesab edirlər. Bu zaman kifayət qədər yaxşı nəticələr əldə edilir.
Yalnız ASPLINE splaynı və kubik splayn üçün onun bi rinci və sonuncu nöqtələrindən keçən splaynın xarakterinə təsir edən əlavə parametrlər vermək olar.
C2 sinifli interpolyasiya edilmişkubik splayn parçada kəsilməyən ikinci tərtib törəməyə malikdir. Onu çoxhədli şəklində aşağıdakı kimi yazmaq olar:
S splaynı [ i+1]parçalarının hər birindədörd a ,a ,a və əmsalları ilətəyin edilir. Buna görədə onun qurulması üçün 4n sayda əmsallar müəyyən edilməlil dir, burada n - torda nöqtələrin sayıdır. Praktikada təyin edily məli olan kəmiyyətlərin sayını n+1-ə gətirirlər. Bunun üçün [ i+1]parçaların hər birində interpolyasiya splaynını aşağıı dakı kimi ifadə edirlər:
burada
n+1xətti tənlikdən ibarət olan sistemini həll etməklə n+1 sayda mi məchullarını təyin edirlər, burada i =0,...,n
burada , , . Eləcədə1- ci tip sərhədşərtləri üçün (1 - ci tip sərhəd şərtləri: parçasının sonlarında axtarılan funksiyanın 1-ci tərtib törəməsi verilir) - . 2-ci tip sərhədşərtləri üçün (2 - ci tip sərhəd şərtləri: parçasının sonlarında axtarılan funksiyanın 2-ci tərtib törəməsi verilir) ; ; .
Belə sistemi həll etmək üçün “sürətli təhlil (qovma)” (“proqonka”) üsulundan istifadə edirlər. Bu metod Qauss mer todunun modifikasiyasıdır və nəticələrin yuvarlaqlaşdırılmad sında səhvlərin yığılmasını istisna edir.
NURBS-splaynı. NURBS-splaynların tam adı (Non – Uniform Ratioan B-spline) – bu qeyri-bərabər rasional Br splaynlardır. Non - Uniform xassəsi (qeyri-bərabərlik, qeyri - bircinslik) idarəetmə nöqtələrinin əyrinin formasına müxtəlif təsir dərəcəsini göstərir. Bu isə xüsusilə mürəkkəb əyrilərin modelləşdirilməsində əhəmiyyətlidir. Rational (rasionallıq) xassəsi isə interpolyasiya olunan əyrini təsvir edən riyazi ifadənin iki polinomun nisbəti olduğunu göstərir. Bu xassə müx təlif əyriləri dəqiq modelləşdirməyə imkan verir.
B-spline anlayışı (baza splaynı) üç və daha çox idarə- etmə nöqtələri arasında interpolyasiya əyrisinin qurulması üsulunu ifadə edir.
NURBS-splaynı riyazi olaraq belə göstərilir:
Burada B , pi - normallaşdırılmış baza funksiyasıdır (bazis function), bu funksiya konkret Pi idarəetmə nöqtəsindən əyrinin formasının asılılığını müəyyənləşdirir (şək. 4); Pi - idarəetmə nöqtəsidir (control point), belə ki idarəetmə nöqtələri çoxluğunun yerləşməsi NURBS - əyrilərinin formasını təyin edir; wi - idarəetmə nöqtəsinin çəkisidir, o idarəetmə nöqtəsinin əyriyə “cazibə qüvvəsini” təşkil edir; p - NURBS-sı təyin edən rasional çoxhədlinin surətdə və məxrəcdə baza funksiyalarının tərtibidir; ti - düyünlərdir (knot); düyünlər vektoru (knot vector) əyrinin üzunluğu üzrə idarəetmə nöqtələrinin təsir zonalarını (intervallarını) təyin edir.
Şək. 4. Birinci tərtibdən ucüncü tərtibə qədər baza funksiyaları
Baza funksiyalarını Bi,0-dan başlayaraq rekursiv olaraq hesablayırlar:
Əgər k NURBS əyrisinin baza funksiyanın ən böyük tərtibidirsə, onda deyirlər ki, bu əyri k tərtibinə malikdir, və kəsilməyən tön rəməyə malikdir. RPİ sistemlərində NURBS əyrilərinin üçünr cü və dördüncü tərtibləri ilə işləyirlər.
NURBS – ın maşınqayırmada geniş tətbiqi istənilən mün rəkkəblikli trayektoriyaya NURBS - əyrilərinin incə (zərif, həssas) sazalanmasının (çatdırılmasının) həyata keçirilməsi imkanları ilə əlaqədardır. NURBS splaynları digərlərindən fərqli olaraq splayn - əyrinin forması ilə müəyyənləşən üç asın lı olmayan parametrlər tipinə malikdirlər: idarəetmə nöqtələri, çəkiləri və düyünlərinə. Bu parametrlərin hər birinin fiziki təqdimatına və RPİ sistemlərində onların tətbiqinin xüsusiyt yətlərinə baxaq.
NURBS - splaynın forması şək. 5 - də Pi nöqtələrinin vəziyyəti ilə müəyyənləşmişdir. Əgər idarəetmə nöqtələrinin düz xətlərlə birləşdirsək, onda onlar idarəetmə çoxbucaqlısını əmələ gətirəcəklər. Bu çoxbucaqlı tamamlayır cı (son, yekunlaşdırıcı) splayn ilə müqayisə edilmə üçün ra hatdır.
Şək. 5 - dəki sağ əyri Pi məsinin təsirini gəstərir. Əyrinin forması əyrinin heç də bütün uzunluğu boyu dəyişmir, yalnız idarəetmə nöqtəsinin əhatəsində dəyişir.
Şək. 5. NURBS – splaynın formalaşdırılmasına idarəetmə nöqtələrinin vəziyyətlərinin təsiri
Bu effekti lokal idarəetmə adlandırırlar. O, CAD - CAM sistemlərinə, əyrinin formasına ümumilikdə toxunmayaraq ayri - ayri bəzi idarəetmə nöqtələrinin yerini dəyişmək yolu ilə, lokal (yerli) korreksiyaları (düzəldilmələri) daxil etməyə imkan verir.
Rasional əyrilər, adi B - splaynlardan fərqli olaraq, prakr tiki əhəmiyyətli aşağıdakı xassələrə malikdirlər:
onlar miqyaslama kimi proyeksiya transformasiyalao rında korrekt (doğru) nəticələri təmin edirlər;
onları ixtiyarı əyrilərin, konik kəsiklər də (dairələr, elr lipslər, parabola və hiperbolalar) daxil olmaqla, mo delləşdirilməsində istifadə etmək olar.
Bu xassələr əlavə parametrin – idarəetmə nöqtəsinin çəkisinin hər bir idarəetmə nöqtəsinin çəkisi 1.0 – ə bərabərdir, yəni bu əyrinin formasına bütün nöqtələrin eyni təsirini bildirir. Bəzi idarəetmə nöqtələrinin çəkisinin artırılması bu nöqtəyə təsirin gücləndirilməsi imkanı verir, nəticədə əyrinin bu nöqtəyə “cəzb edilməsi” effekti yaranır (şək. 6).
Onu nəzərə almaq lazımdır ki, yalnız ayrı – ayrı idarəete mə nöqtələrində çəkinin dəyişdirilməsi əyrinin formasına tə- sir edir. Bütün idarəetmə nöqtələrinin çəkilərinin proporsior nal (mütənasib) dəyişdirilməsi zamanı əyrinin forması dəyiş- məz qalır.
Şək. 6. Əyrinin “cəzb etməsinə” idarəetmə nöqtələrinin çəkilərinin təsiri
Şək. 4.17. İdarəetmə nöqtələr çoğluğu üçün baza funksiyaları və düyün vektorları üçün NURBS-əyriləri:
a) düyünlər vektorlarında bərabər paylanma; b) düyünlər vektorlarında qeyri-bərabər paylanma
Hər bir yoxlama (kontrol) nöqtəsi özünəməxsus baza funksiyasına malikdir. Şək. 7 - də beş idarəetmə nöqtəsi ilə göstərilmiş NURBS əyrisi beş belə funksiyaya malik olacaqdır. Onlardan hər biri əyrinin bəzi intervallarını örtür. Şək. 7 a - da bütün baza funksiyaları mütləq olaraq eyni formaya malikdirlər və bərabər təsir intervalını əhatə edirlər. İntervalları məhdudlaşdıran nöqtələr düyünlər və onların qaydaya salınmış siyahısı isə düyünlər vektoru adlanır. Şək. 4.17 a – da göstərilmiş baza funksiyaları üçün düyün vektoru { 0,7;0,6;0,5;0,4;0,3;0,2;0,1;0,0 } şəklinə malikdir. Bu bərabər (uniform) düyünlər vektoruna bir nümunədir, bu zaman şəkildə bütün baza funksiyaları əyrinin uzunluğu boyu bərabər intervalları əhatə edir.
Düyünlər vektorunu { 0,7;0,6;25,4;0,4;75,3;0,2;0,1;0,0 } kimi dəyişsək, şək. 7b – də göstərilmiş qeyri - bərabər baza funksiyaları dəsti və uyğun əyrini (eyni idarəetmə nöqtələri dəstindən istifadə etməklə) alacağıq. P2 və P3 idarəetmə nöqtələri ilə əlaqəli B 3.2 (t) və B 3.3 (t) baza funksiyaları digərlərindən yuxarıdadır, { 0,4;75,3 } və { 25,4;0,4 } intervalları isə bu iki yoxlama nöqtələri uçun düyünlər vektorunda artıq qalanlarına əyrinin toplanmas üçün təsir edir.
Nəticədə əyri P2 və P3 idarəetmə nöqtələrinə çox əsaslı yerini dəyişəcəkdir.
Qeyri - bərabər düyünlər vektorlarının əsas xasssələri bunlardır: splaynın ilkin və son nöqtələrinin dəqiq yerləşdirilməsinin idarə olunması imkanı; dövrələmə və sınıqlara malik əyrinin yaradılması imkanı. Tutaq ki, məsələn, { 0,7; 0,6; 0,5; 0,4; 0,3; 0,0 ;0,0; 0,0} düyünlər vektoru baza funksiyalarını elə təyin edir ki, bu zaman əyrinin başlanğıcı P0 idarəetmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Bu şəkil 8 a – dan görünür. Bəzi düyünlərin {0,7;0,6;0,5;0,3;0,3;0,2;0,1;0,0} vektorunun ortasına sürüşməsi zamanı şək. 8 b –də göstrəilmiş P2 nöqtəsində sınıq yeri olan əyrini alacağıq.
Bu düyünlərin üst-üstə düşməsi bu birləşmədə əyrinin dərəcəsini bir vahid azaldır; əgər üç düyün üst-üstə düşürsə, onda əyrinin dərəcəsi iki vahid azalır; və bu qanunauyğunluq davam edir.
İlkin konturun proqramlaşdırılmış (rəqəmləşdirilmiş) nöqtələri NURBS - splaynın əksər idarəetmə nöqtələrinin çoxluğunu yaradır. Qurulmuş splayn yalnız idarəetmə nöqtələrinə, ilkin və son nöqtələrdən başqa, onları keçməyərək
“meyl edir” (“cəzb edilir”). İlkin və son nöqtələri isə splayna toxunan üzrə keçir. RPİ idarəetmə proqramının kadrında verilmiş əlavə parametrlər (çəkilər) splaynın formasına təsir edirlər. Onlar konturun hər bir idarəetmə nöqtəsinə bənd edilə (bağlana) bilərlər. Məsələn, RPİ Sinumerik sisteminin proqramında idarəetmə nöqtəsinin çəkisini w 3...0 diapazonunda 0,0001 addımı ilə dəyişmək olar.
Şək. 8. Əyrinin formasına düyünlər vektorunun təsiri
|
